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Stochastic models in xVA: with applications to collateralisation and exposure simulation

par Wolf, Felix Lukas
Président du jury Trufin, Julien
Promoteur Deelstra, Griselda
Co-Promoteur Grzelak, Lech
Publication Non publié, 2024-06-06

Thèse de doctorat

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Résumé :

In this doctoral thesis, I present my research within the field of Mathematical Finance, focused on topics arising within the financial ‘xVA’ framework, in which classical asset pricing theory is augmented to accommodate additional frictions and risks inherent in modern risk management. The first two main chapters of our work revolve around the collateral choice option, a financial option that emerges when there is the possibility to select the collateral between various currencies or assets. We phrase this problem in terms of underlying collateral spreads, for which we develop a stochastic model leading to the representation of the option price as a non-linear functional of a stochastic process which is obtained by taking the maximum of the stochastic processes used to depict the collateral spreads. The lack of tractability of this model is resolved by imposing a specific ‘common factor’ structure onto the marginal distributions of the collateral spreads, from which we obtain an estimator for the option value. This is further refined through enhancements to account for the dynamics of the process. We analyse the numerical complexity of the obtained approximators and their behaviour within the parameter space. We further apply this model towards sensitivity calculations of an asset imbued with the collateral choice option. We further consider the hedging problem posed by such an asset and develop a variance-minimising hedging strategy based on the assumption of stochastic collateral spreads.In the third main chapter, we consider the efficient calculation of expected exposure sensitivities. The objective here is to improve the numerical complexity of Monte Carlo simulations involving many portfolio valuations. We replace costly exact valuation functions with an interpolation scheme, in which the interpolation points are determined by the probability distribution of the random variables underlying the assets in the portfolio. We utilise this approach to efficiently compute the interest rate sensitivities of these calculations, accounting for the complete construction of the interest term structure. Optimality results and numerical experiments comparing the accuracy of different approaches are included in this work.In the final chapter, we develop a stochastic process that incorporates random variables in its parameters and a (stochastic) switching. These features are appealing from a modelling perspective as they can represent externalities such as shifting market behaviours and uncertainties. However, the resultant process may display inconsistent behaviour in specific problems involving nested expectations. We resolve this issue by the definition of a standard stochastic jump-diffusion process which shares the same marginal distributions as the inspiratory process but does not contain the additional random variables in its definition. We further conduct numerical experiments, highlighting the usability and impact of this process in an option pricing experiment.

Dans cette thèse de doctorat, je présente mes recherches dans le domaine de la Finance Mathématique, centrées sur des sujets émergeant dans le cadre financier du « xVA », où la théorie classique de tarification des actifs est augmentée pour accommoder des frictions et des risques supplémentaires inhérents à la gestion moderne des risques. Les deux premiers chapitres principaux de notre travail tournent autour de l'option de choix de collatéral, une option financière qui émerge lorsqu'il y a la possibilité de sélectionner le collatéral entre différentes devises ou actifs. Nous formulons ce problème en termes de spreads de collatéral sous-jacents, pour lesquels nous développons un modèle stochastique menant à la représentation du prix de l'option comme une fonctionnelle non linéaire d'un processus stochastique qui est obtenu en prenant le maximum des processus stochastiques utilisés pour modéliser les spreads de collatéral. L'absence de solution explicite de ce modèle est résolue en imposant une structure de « facteur commun » spécifique sur les distributions marginales des spreads de collatéral, à partir de laquelle nous obtenons un estimateur pour la valeur de l'option. Ceci est encore affiné par des améliorations pour tenir compte de la dynamique du processus. Nous analysons la complexité numérique des approximations obtenues et leur comportement dans l'espace paramétrique. Nous appliquons en outre ce modèle aux calculs de sensibilité d'un actif doté de l'option de choix de collatéral. Nous considérons également le problème de couverture posé par un tel actif et développons une stratégie de couverture minimisant la variance basée sur l'hypothèse de spreads de collatéral stochastiques.Dans le troisième chapitre principal, nous considérons le calcul efficace des sensibilités de l’ « expected exposure ». L'objectif ici est d'améliorer la complexité numérique des simulations de Monte Carlo impliquant de nombreuses évaluations de portefeuille. Nous remplaçons les fonctions d'évaluation exactes coûteuses par un schéma d'interpolation, dans lequel les points d'interpolation sont déterminés par la distribution de probabilité des variables aléatoires sous-jacentes aux actifs du portefeuille. Nous utilisons cette approche pour calculer efficacement les sensibilités aux taux d'intérêt de ces calculs, en tenant compte de la construction complète de la structure à terme des taux d'intérêt. Des résultats d'optimalité et des expériences numériques comparant la précision de différentes approches sont inclus dans ce travail.Dans le chapitre final, nous développons un processus stochastique qui incorpore des variables aléatoires dans ses paramètres et un changement (stochastique). Ces caractéristiques sont attrayantes d'un point de vue de modélisation car elles peuvent représenter des externalités telles que des changements de comportements de marché et des incertitudes. Cependant, le processus résultant peut afficher un comportement incohérent dans des problèmes spécifiques liés aux « nested simulations ». Nous résolvons ce problème par la définition d'un processus standard de saut-diffusion stochastique qui partage les mêmes distributions marginales que le processus original mais ne contient pas les variables aléatoires supplémentaires dans sa définition. Nous menons en outre des expériences numériques, soulignant l'utilisabilité et l'impact de ce processus dans une expérience de tarification d'option.