par Weytens, Maxime 
Président du jury Bertelson, Mélanie
Promoteur Fine, Joel
Publication Non publié, 2026-09-10
Président du jury Bertelson, Mélanie
Promoteur Fine, Joel
Publication Non publié, 2026-09-10
Thèse de doctorat
| Résumé : | Cette thèse s'inscrit dans le programme plus vaste de construction d'invariants de noeuds qui catégorifierait les invariants de noeuds conjecturaux de J. Fine. Ces invariants seraient définis, en adaptant les idées de Donaldson et Thomas, via la construction d'une homologie de Floer pour une certaine fonctionelle $mathcal F$ agissant sur l'ensemble des surfaces de l'espace des twisteurs $Z$ de l'espace hyperbolique de dimension quatre. Les points critiques de cette fonctionelle sont les courbes pseudo-holomorphes et les graphes des lignes de flot du gradient sont des variétés associatives dans le produit $Z imes mathbb R$ de l'espace des twisteurs avec la droite réelle.Ce travail est centré autour de l'étude de l'espace modulaire des sous-variétés associatives de $Z imes mathbb R$, une première étape essentielle pour la construction de l'homologie de Floer sus-mentionnée. Les sous-variétés associatives spéciales que l'on considère ont, pour bord, un produit de la droite réelle avec le lift twistoriel d'un certain noeud (ou entrelacs) ainsi que deux courbes pseudho-holomorphes, qui sont les lifts twistoriels de surface minimales remplissant ce noeud. Le premier résultat majeur de cette thèse démontre que cet espace modulaire admet une structure de variété lisse de dimension locale finie sous les conditions suivantes: Le noeud asymptotique est régulier au sens de J. Fine (une condition satisfaite de manière générique et qui garanti que les courbes pseudo-holomorphes sont non-dégénérées); la structure $G_2$ de $Z imes mathbb R$ est déformée en une structure $G_2$ régulière; et à condition qu'une certaine conjecture naturelle de la théorie du calcul différentiel edge soit satisfaite.Cette dernière hypothèse sur la théorie edge peut être retirée de la théorie en prenant le quotient de l'espace hyperbolique par un sous-groupe discret de l'espace des isométries hyperboliques. Cette approche possède des avantages et des inconvénients qui sont discutés dans le manuscrit.Le théorème le plus important de cette thèse exprime la dimension d'un sous-ensemble de l'espace modulaire des variétés associatives ci-dessus comme la différence entre les indices de Morse des surfaces minimales détérminées par les conditions aux bords. Ce théorème est démontré à l'aide d'un résultat de diagonalisation de la Hessienne de la fonctionelle $mathcal F$, nécessitant une bonne compréhension de la structure géométrique de l'espace des twisteurs. |
| This thesis is part of the broader programme of constructing knot invariants that would categorify the conjectural knot invariants of J. Fine. These invariants would be defined, by adapting the ideas of Donaldson and Thomas, through the construction of a Floer homology for a certain functional $mathcal F$ acting on the space of surfaces in the twistor space $Z$ of four-dimensional hyperbolic space. The critical points of this functional are pseudoholomorphic curves, and the gradient flow lines are associative submanifolds in the product $Z imes mathbb R$ of the twistor space with the real line.This work is centred around the study of the moduli space of associative submanifolds of $Z imes mathbb R$, an essential first step towards the construction of the aforementioned Floer homology. The special associative submanifolds considered have, as boundary, a product of the real line with the twistor lift of a certain knot (or link), together with two pseudoholomorphic curves, which are the twistor lifts of minimal surfaces spanning this knot.The first major result of this thesis proves that this moduli space admits a smooth, locally finite-dimensional manifold structure under the following conditions: the asymptotic knot is regular in the sense of J. Fine (a condition that is generically satisfied and guarantees that the pseudoholomorphic curves are non-degenerate); the $G_2$ structure on $Z imes mathbb R$ is deformed into a regular $G_2$ structure; and provided that a certain natural conjecture from edge differential calculus is satisfied.This last assumption on edge theory can be removed by taking the quotient of hyperbolic space by a discrete subgroup of the group of hyperbolic isometries. This approach has both advantages and disadvantages, which are discussed in the manuscript.The most important theorem of this thesis expresses the dimension of a subset of the above moduli space of associative submanifolds as the difference between the Morse indices of the minimal surfaces determined by the boundary conditions. This theorem is proved using a diagonalisation result for the Hessian of the functional $mathcal F$, which requires a good understanding of the geometric structure of the twistor space. |
