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String C-group representations of almost simple groups

par Mulpas, Jessica
Président du jury Vercruysse, Joost
Promoteur Leemans, Dimitri
Co-Promoteur De Saedeleer, Julie
Publication Non publié, 2024-06-14

Thèse de doctorat

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Résumé :

Cette thèse de doctorat porte sur les représentations des groupes presque simples à l’aide des string-C-groupes et, plus précisément, des groupes simples sporadiques et des groupes symétriques. Nous présentons trois contributions à ce domaine de recherche.Notre première contribution consiste en l’élaboration de nouveaux algorithmes permettant de classer toutes les représentations à l’aide de string-C-groupes d’un groupe fini donné. Nous utilisons ces algorithmes pour calculer toutes les dites représentations des groupes sporadiques de Suzuki, Rudvalis et O’Nan ainsi que les représentations de rang trois pour les groupes sporadiques Co2 et Fi22. Nous exécutons également les algorithmes sur les groupes sporadiques dont la classification de ces représentations était déjà connue et nous comparons leur temps d’exécution avec ceux des anciens algorithmes lorsqu’ils sont disponibles.Notre deuxième contribution est une technique d'augmentation de rang pour les représentations à l’aide de string-C-groupes de rang 3 de groupes symétriques : nous donnons un premier résultat d'inversion du théorème de réduction de rang de Brooksbank et Leemans.Notre troisième et dernière contribution concerne principalement l’étude des graphes de représentations permutantes de groupes symétriques. Nous commençons par expliquer deux nouvelles techniques de collages de graphes de représentations permutantes. Nous étudions ensuite les graphes de représentations permutantes de Sym(n) de rang r ≥ n/2 ayant un graphe de fracture et une scission imparfaite. Ces graphes ont été déterminés par Cameron, Fernandes et Leemans. Nous discutons lesquels d’entre eux sont des graphes CPR.

This dissertation deals with string C-group representations of finite almost simple groups and, more precisely, of sporadic simple groups and symmetric groups. We present three contributions to this field of research.Our first contribution is a series of new algorithms to classify all string C-group representations of a given finite group. We use these algorithms to compute all string C-group representations of the sporadic groups of Suzuki, Rudvalis and O'Nan as well as the rank three representations for the sporadic groups Co2 and Fi22. We also run the algorithms on the sporadic groups whose classification of string C-group representations was already complete and compare their execution times with those of former algorithms when available.Our second contribution is a rank augmentation technique for rank three string C-group representations of the symmetric groups: we give a first step into reversing the Rank Reduction Theorem of Brooksbank and Leemans.Our third and last contribution concerns mainly the study of permutation representation graphs for Sym(n) with rank r ≥ n/2 having a fracture graph and a split that is not perfect. These graphs were determined by Cameron, Fernandes and Leemans. We discuss which of these are CPR graphs.