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Projective linear groups and highly symmetric polytopes

par Vandenschrick, Adrien
Président du jury Spenko, Špela
Promoteur Leemans, Dimitri
Publication Non publié, 2022-01-10

Thèse de doctorat

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Résumé :

Deux grandes disciplines mathématiques furent abordées durant ma thèse : la Géométrie et la Théorie des groupes. Depuis longtemps, les hommes s’intéressent aux formes géométriques. En effet, déjà dans l’Antiquité, les grecs étudiaient les droites, les cercles, les triangles, … et, par des constructions géométriques, parvenaient à faire apparaître de remarquables identités. Ce sont les polytopes que j’ai étudiés durant ma thèse ou, pour être plus précis, les polytopes abstraits. Ces derniers, tout en gardant les propriétés essentielles des polytopes, en sont une extension. Parmi les polytopes, deux familles sont d’une importance considérable : les polytopes réguliers dont les solides de Platon sont les exemples les plus connus, et les polytopes chiraux qui ont toutes les symétries sauf les réflexions. Deuxième pierre angulaire de ma thèse, la Théorie des groupes. Cette construction plus récente a, au fil des années, tissé des liens avec de nombreux autres sujets scientifiques. Un groupe rassemble les symétries d’un objet, celui-ci pouvant être décomposé jusqu’à obtenir les atomes de la théorie des groupes : les groupes simples finis. Ces objets indivisibles furent classifiés grâce au travail de centaines de mathématiciens, mais ils recèlent encore de nombreux secrets.Ayant déjà abordé le cas des polytopes réguliers durant mon mémoire, la question à l’origine de ma thèse fut : Quels groupes simples finis sont groupes de symétries d’un polytope abstrait chiral ? Grâce aux travaux de D. Leemans, M. W. Liebeck sur les polytopes de rang 3, ainsi qu’à l’article de A. M. Macbeth sur le groupe PSL(2,q), et à l’article de A. Breda et A. Catalano sur les groupes PSL(3,q) et PSU(3,q), le résultat suivant était connuTous les groupes non-abéliens simples finis sont groupes de symétries d’un polytope abstrait chiral de rang 3, excepté les suivantsPSL(2,q), PSL(3,q), PSU(3,q) et Alt(7). Mon objectif était donc de retirer la contrainte « de rang 3 » de ce résultat. Le groupe PSL(2,q) ayant déjà été étudié par D. Leemans et J. Moerenhout, je me suis concentré sur les groupes PSL(3,q) et PSU(3,q).Avec mon promoteur, j’ai prouvé que ces groupes n’étaient pas les groupes de symétries de polytopes abstraits chiraux de rang 6 ou plus. Par contre, concernant PSL(3,q), nous avons construit des polytopes abstraits chiraux de rang 4 (pour q > 4) et de rang 5 (pour q premier congru à 1 modulo 6) dont il est le groupe de symétries. Ces résultats seront publiés dans le Journal of the London Mathematical Society.