Président du jury Paindaveine, Davy
Promoteur Hörmann, Siegfried
;Melard, Guy Publication Non publié, 2012-09-07
| Résumé : | Dans cette thèse, nous étudions l’estimation de modèles autorégressif-moyenne mobile vectoriels ou VARMA, `a coefficients dépendant du temps, et avec une matrice de covariance des innovations dépendant du temps. Ces modèles sont appel´es tdVARMA. Les éléments des matrices des coefficients et de la matrice de covariance sont des fonctions déterministes du temps dépendant d’un petit nombre de paramètres. Une première partie de la thèse est consacrée à l’étude des propriétés asymptotiques de l’estimateur du quasi-maximum de vraisemblance gaussienne. La convergence presque sûre et la normalité asymptotique de cet estimateur sont démontrées sous certaine hypothèses vérifiables, dans le cas o`u les coefficients dépendent du temps t mais pas de la taille des séries n. Avant cela nous considérons les propriétés asymptotiques des estimateurs de modèles non-stationnaires assez généraux, pour une fonction de pénalité générale. Nous passons ensuite à l’application de ces théorèmes en considérant que la fonction de pénalité est la fonction de vraisemblance gaussienne (Chapitre 2). L’étude du comportement asymptotique de l’estimateur lorsque les coefficients du modèle dépendent du temps t et aussi de n fait l’objet du Chapitre 3. Dans ce cas, nous utilisons une loi faible des grands nombres et un théorème central limite pour des tableaux de différences de martingales. Ensuite, nous présentons des conditions qui assurent la consistance faible et la normalité asymptotique. Les principaux résultats asymptotiques sont illustrés par des expériences de simulation et des exemples dans la littérature. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à un algorithme qui nous permet d’évaluer la fonction de vraisemblance exacte d’un processus tdVARMA d’ordre (p, q) gaussien. Notre algorithme est basé sur la factorisation de Cholesky d’une matrice bande partitionnée. Le point de départ est une généralisation au cas multivarié de Mélard (1982) pour évaluer la fonction de vraisemblance exacte d’un modèle ARMA(p, q) univarié. Aussi, nous utilisons quelques résultats de Jonasson et Ferrando (2008) ainsi que les programmes Matlab de Jonasson (2008) dans le cadre d’une fonction de vraisemblance gaussienne de modèles VARMA à coefficients constants. Par ailleurs, nous déduisons que le nombre d’opérations requis pour l’évaluation de la fonction de vraisemblance en fonction de p, q et n est approximativement le double par rapport à un modèle VARMA à coefficients constants. L’implémentation de cet algorithme a été testée en comparant ses résultats avec d’autres programmes et logiciels très connus. L’utilisation des modèles VARMA à coefficients dépendant du temps apparaît particulièrement adaptée pour la dynamique de quelques séries financières en mettant en évidence l’existence de la dépendance des paramètres en fonction du temps. |
