par Bricmont, Antoine 
Président du jury Gloria, Antoine
Promoteur Premoselli, Bruno
Publication Non publié, 2026-09-10
Président du jury Gloria, Antoine
Promoteur Premoselli, Bruno
Publication Non publié, 2026-09-10
Thèse de doctorat
| Résumé : | Cette thèse étudie la compacité des solutions positives d’un problème elliptique semi-linéaire avec condition de Neumann, lorsque l’exposant non linéaire tend vers l’exposant critique de Sobolev en dimension trois. L’objectif principal est de déterminer des conditions suffisantes sous lesquelles une famille de solutions reste bornée en topologie C² et converge vers une solution du problème limitecritique.La première étape majeure de cette thèse est la construction et l’analyse fine de la fonction de Green associée à l’opérateur avec condition de Neumann. On établit son existence, son unicité, sa symétrie, sa positivité et des estimations ponctuelles optimales, y compris au voisinage du bord. Ces résultats techniques sont essentiels pour l’étude du comportement asymptotique des solutions.Le théorème principal que je démontre énonce que si la courbure moyenne du bord est strictement positive et si la masse de la fonction de Green associée au problème est strictement positive dans tout le domaine, alors toute suite de solutions possède une sous-suite convergentedans C². Autrement dit, il n’y a pas de phénomène d’explosion (blow-up) de la suite de solutions. Ce résultat unifie et généralise plusieurs travaux antérieurs.La stratégie de preuve repose sur une analyse fine du blow-up. On montre que si une suite n’est pas compacte, elle doit concentrer son énergie en un nombre fini de points. Une analyse locale par changement d’échelle montre que la solution ressemble à une “bulle” standard. On utilise ensuiteune identité de Pohozaev et les estimations précises de la fonction de Green pour relier la position des points où se concentrent les solutions à des quantités géométriques. On en déduit que, sous les hypothèses de courbure moyenne positive et de masse positive, le blow-up est impossible.La thèse contient également des exemples concrets de domaines et de fonctions "potentiel" satisfaisant ces hypothèses. Elle est spécifique à la dimension trois, où les interactions entre bulles sont plus faibles que dans les dimensions supérieures, ce qui permet de mener l’analyse sans borne d’énergie a priori. |
| This thesis studies the compactness of positive solutions to a semilinear elliptic problem with Neumann boundary condition, when the nonlinear exponent approaches the critical Sobolev exponent in dimension three. The main objective is to determine sufficient conditions under which a family of solutions remains bounded in the C² topology and converges to a solution of the limiting critical problem.The first major step of this thesis is the construction and fine analysis of the Green's function associated with the operator under the Neumann condition. We establish its existence, uniqueness, symmetry, positivity, and optimal pointwise estimates, including in the vicinity of the boundary. These technical results are essential for studying the asymptotic behavior of solutions.The main theorem I prove states that if the mean curvature of the boundary is strictly positive and if the mass of the Green's function associated with the problem is strictly positive throughout the domain, then any sequence of solutions admits a convergent subsequence in C². In other words, there is no blow-up phenomenon in the sequence of solutions. This result unifies and generalizes several previous works.The proof strategy relies on a fine blow-up analysis. We show that if a sequence is not compact, it must concentrate its energy at a finite number of points. A local analysis using a scaling argument shows that the solution resembles a standard "bubble." We then use a Pohozaev identity and the precise estimates of the Green's function to relate the location of the concentration points to geometric quantities. From this, we deduce that, under the assumptions of positive mean curvature and positive mass, blow-up is impossible.The thesis also contains concrete examples of domains and "potential" functions satisfying these assumptions. It is specific to dimension three, where interactions between bubbles are weaker than in higher dimensions, which allows the analysis to be carried out without an a priori energy bound. |
