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Aspects quantitatifs en géométrie localement conformément symplectique.

par Van Overschelde, Pâcome
Président du jury Gutt, Simone
Promoteur Bertelson, Mélanie
Publication Non publié, 2025-10-31

Thèse de doctorat

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Résumé :

Ce travail s’inscrit dans le cadre de l’étude des variétés localement conformément symplectiques (l.c.s.), avec pour objectif d’éclairer la nature des relations entre géométrie l.c.s. et géométrie de contact.Nous développons tout d’abord une approche structurelle des variétés l.c.s., en les décrivant comme des quotients de variétés symplectiques par des actions de groupes de transformations conformes symplectiques.Nous proposons ensuite une construction de structures l.c.s. sur les tores d’application de contactomorphismes, généralisant une construction auparavant définie uniquement pour les contactomorphismes stricts.Nous généralisons par ailleurs un résultat de Bazzoni et Marrero au cas de structures l.c.s. n’étant pas nécessairement de premier type, afin de donner une caractérisation des tores d’application l.c.s. associés à une variété de contact fermée.Nous développons une notion de nature quantitative, appelée élasticité, pour étudier les variétés l.c.s. exactes, et nous donnons une caractérisation des variétés l.c.s. de premier type en terme de cette notion.Nous mettons ensuite en évidence un lien entre l’élasticité et un invariant de systèmes dynamiques, en établissant les valeurs limites de l’élasticité d’un tore d’application l.c.s. en fonction de la moyenne de Birkhoff du facteur conforme associé à son contactomorphisme.Cette analyse conduit à une borne sur les extrema des facteurs conformes associés à un contactomorphisme, fournissant ainsi une condition nécessaire pour qu'un contactomorphisme soit stricte.Nous proposons une construction de variétés l.c.s. exactes via un assemblage de cobordismes de Liouville et utilisons cette construction pour étudier les classes d’isomorphisme des tores d’application l.c.s.. Nous établissons un critère nécessaire et un critère suffisant pour que les tores d’application l.c.s. associés à deux contactomorphismes soient exactement isomorphes. Ce qui nous permet de généraliser en géométrie l.c.s. un résultat de Courte, et de mettre en évidence des exemples de variétés de contact non-isomorphes admettant des symplectisations conformes isomorphes, à condition que la forme de Lee soit suffisamment grande.Cette condition suggère que la transition de la géométrie de contact vers la géométrie l.c.s. pourrait préserver davantage de structure que le passage à la géométrie symplectique.Enfin, ce travail met en lumière de nouvelles pistes d’étude pour explorer divers aspects de la géométrie de contact au moyen de la géométrie l.c.s., allant de la dynamique de contact à la topologie de contact, faisant de la géométrie localement conformément symplectique un cadre naturel pour étudier la géométrie de contact.