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Partial modules and comodules of Hopf algebras

par Hautekiet, William
Président du jury Leemans, Dimitri
Promoteur Vercruysse, Joost
Co-Promoteur Saracco, Paolo
Publication Non publié, 2025-04-18

Thèse de doctorat

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Résumé :

L'introduction des actions partielles de groupes sur algèbres par Exel en 1994 a été le début de beaucoup de développements intéressants dans les théories des C*-algèbres et des systèmes dynamiques, ainsi qu'en théorie des représentations. Les actions partielles peuvent être obtenues par restriction d'une action d'un groupe sur un ensemble à un sous-ensemble quelconque. Les représentations partielles (ou modules partiels) d’algèbres de Hopf généralisent cette notion. Elles satisfont des axiomes qui sont plus faibles que l'axiome d'associativité mixte usuel pour les modules. Les comodules partiels sont définis de façon duale et on peut les voir comme une généralisation des algèbres graduées. Le premier objectif de cette dissertation est le développement de techniques pour la construction de modules et comodules partiels pour de grandes classes d'algèbres de Hopf, comme les algèbres de Hopf connexes, cocommutatives et semi-simples. Le deuxième but est l'étude des propriétés des catégories de modules et comodules partiels dans leur entièreté. Cette thèse est composée de trois parties. Dans la première, on étudie les représentations partielles de groupes qui sont globales sur un grand sous-groupe. Cette approche permet d'obtenir des formules explicites pour décrire les objets irréductibles, ce qui n'est pas possible dans le cas général, car la complexité grandit rapidement par rapport à l'ordre du groupe. La deuxième partie est dédiée aux modules partiels des algèbres de Hopf. Dans le Chapitre 2, nous montrons que les algèbres de Hopf connexes ne possèdent aucune représentation partielle qui n'est pas globale. Ce résultat montre que les représentations partielles contiennent de l'information sur à la fois la structure d'algèbre et de coalgèbre de l'algèbre de Hopf, contrairement au cas global. Dans le Chapitre 3, nous considérons une action naturelle de la catégorie des modules globaux sur la catégorie des modules partiels. Cette action catégorique permet une nouvelle perspective sur la globalisation de modules partiels. La troisième partie traite les comodules partiels. On donne une construction générale pour les comodules partiels d'algèbres de Hopf au Chapitre 4. Notre construction produit tout comodule partiel de dimension 1, et si H est une algèbre de groupe finie, on décrit en détail quand les comodules construits sont simples ou isomorphes entre eux. Dans le dernier chapitre de cette thèse, on démontre que la catégories de comodules partiels est comonadique sur les espaces vectoriels. Ainsi, on peut la voir comme une catégorie de comodules d'une comonade, qu'on construit explicitement en utilisant des espaces vectoriels et des coalgèbres topologiques.

The introduction of partial actions of groups on algebras by Exel was the start of many many exciting developments in the theories of C*-algebras and dynamical systems as well as representation theory. Partial actions can be obtained by restricting the action of a group on a set to an arbitrary subset. Partial representations (or partial modules) of Hopf algebras generalize this notion. They satisfy axioms that are a weakening of the usual mixed associativity axiom for modules. Partial comodules are defined dually to partial modules and provide a generalization of graded vector spaces and graded algebras.The first aim of this work is therefore to develop techniques for constructing partial modules and partial comodules for large classes of Hopf algebras, for instance connected, cocommutative and semisimple Hopf algebras. The second goal of this dissertation is to study properties of the categories of partial modules and partial comodules of Hopf algebras as a whole.This thesis is divided in three parts. In the first part, partial representations of groups that are global on a large subgroup are studied. They are equivalent to representations of a certain groupoid algebra. This approach allows to obtain explicit formulas describing the irreducible objects, which is not feasible in the general case because the number of simple partial modules grows rapidly with the size of the group. The second part is devoted to partial modules of Hopf algebras. In Chapter 2, we first show that any partial representation that is multiplicative on the coradical is in fact global. In particular, connected Hopf algebras do not possess partial representations that are not global. This result shows that partial representations encode information on both the algebra and coalgebra structure of the Hopf algebra, in contrast to the global ones. In Chapter 3, we consider a natural action of the category of global modules on the category of partial modules, making the latter a biactegory (also called bimodule category). This provides a new perspective on the globalization of partial modules.Partial comodules are treated in the third part. A general construction for partial comodules of Hopf algebras is given in Chapter 4. Our construction obtains every 1-dimensional partial comodule, and in case H is a finite group algebra, we have a good understanding of the simplicity of the constructed partial comodules and of the isomorphisms between them. In the final chapter of this thesis, it is proved that the category of partial comodules is comonadic over vector spaces. This implies that it is can be seen as the category of comodules of a certain comonad. The explicit construction of this comonad makes use of topological vector spaces and topological cofree coalgebras.