par Germain, Gilles 
Président du jury Alonso Garcia, Jennifer
Promoteur Swan, Yvik
Publication Non publié, 2025-02-05
Président du jury Alonso Garcia, Jennifer
Promoteur Swan, Yvik
Publication Non publié, 2025-02-05
Thèse de doctorat
| Résumé : | La méthode de Stein est un ensemble d'outils mathématiques introduits par Charles Stein dont l'idée centrale est de représenter des lois de probabilité par des opérateurs différentiels. Son objectif premier est d'établir des bornes supérieures sur des distances entre lois. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode de Stein dans trois domaines différents issus de l'analyse, de la théorie des probabilités et des statistiques.Nous étudions d'abord l'inégalité de Poincaré associée à une loi unidimensionnelle. Nous obtenons une nouvelle version de la formule variationnelle de Chen-Wang et, en corollaire, des bornes supérieures et inférieures sur la constante de Poincaré exprimées en termes du noyau de Stein. En utilisant cette formule de façon itérée, nous parvenons à construire des suites d'intervalles imbriqués contenant la constante de Poincaré, des suites de fonctions convergeant vers cette constante, ainsi que des suites de fonctions convergeant vers les solutions du problème spectral correspondant. Nos résultats reposent sur les propriétés d'un opérateur pseudo-inverse de l'opérateur classique de Sturm-Liouville, notamment le fait que la constante de Poincaré est sa plus grande valeur propre. Nous illustrons nos méthodes sur une variété d'exemples : fonctionnelles de lois gaussiennes, lois beta, gamma, Subbotin et Weibull.Ensuite, nous introduisons une nouvelle version de la méthode de Stein par comparaison d'opérateurs, dans le cas spécifique où l'on cherche à borner la distance de Wasserstein-1 entre des lois continues et discrètes sur la droite réelle. Notre approche repose sur une nouvelle famille de dérivées discrètes pondérées. Nous proposons également de nouvelles bornes sur les dérivées des solutions des équations de Stein pour les variables aléatoires Pearson intégrées. Nous appliquons nos résultats à plusieurs exemples, y compris le théorème central limite, les modèles d'urnes de Pólya–Eggenberger, la distribution stationnaire du nombre de gènes dans le modèle de Moran, et la distribution stationnaire du système Erlang-C.Enfin, nous passons en revue la littérature concernant les applications de la méthode de Stein à l'estimation de densité. Nous considérons des estimateurs construits en minimisant une divergence de Stein entre la loi empirique des données et la loi du modèle. Dans le cas paramétrique, notre estimateur offre une alternative fiable à l'estimateur du maximum de vraisemblance, qui peut être difficile à calculer ou même inconsistant sous nos hypothèses. Dans le cas non paramétrique, nous explorons différentes façons de minimiser la divergence, notamment par la méthode de descente de gradient. Bien que de tels estimateurs existent déjà dans la littérature, nous en améliorons l'algorithme en sélectionnant la taille du pas de façon à optimiser la convergence. |
| The Stein method is a set of mathematical tools introduced by Charles Stein, with the central idea of representing probability laws through differential operators. Its main objective is to establish upper bounds on distances between laws. In this thesis, we use the Stein method in three different fields: analysis, probability theory, and statistics.We first study the Poincaré inequality associated with a one-dimensional law. We obtain a new version of the Chen-Wang variational formula, and as a corollary, upper and lower bounds on the Poincaré constant expressed in terms of the Stein kernel. By using this formula iteratively, we construct sequences of nested intervals containing the Poincaré constant, sequences of functions converging to this constant, as well as sequences of functions converging to the solutions of the corresponding spectral problem. Our results rely on the properties of a pseudo-inverse operator of the classical Sturm-Liouville operator, notably the fact that the Poincaré constant is its largest eigenvalue. We illustrate our methods with a variety of examples: functionals of Gaussian laws, beta, gamma, Subbotin, and Weibull distributions.Next, we introduce a new version of the Stein method by comparing operators, in the specific case where we seek to bound the Wasserstein-1 distance between continuous and discrete laws on the real line. Our approach is based on a new family of weighted discrete derivatives. We also propose new bounds on the derivatives of the solutions of the Stein equations for integrated Pearson random variables. We apply our results to several examples, including the central limit theorem, Pólya–Eggenberger urn models, the stationary distribution of the number of genes in the Moran model, and the stationary distribution of the Erlang-C system.Finally, we review the literature on applications of the Stein method to density estimation. We consider estimators constructed by minimizing a Stein divergence between the empirical law of the data and the model's law. In the parametric case, our estimator provides a reliable alternative to the maximum likelihood estimator, which can be difficult to calculate or even inconsistent under our assumptions. In the non-parametric case, we explore different ways of minimizing the divergence, notably through the gradient descent method. While such estimators already exist in the literature, we improve the algorithm by selecting the step size to optimize convergence. |
