par Dallant, Justin 
Président du jury Fiorini, Samuel
Promoteur Cardinal, Jean
Co-Promoteur Iacono, John
Publication Non publié, 2024-09-09
Président du jury Fiorini, Samuel
Promoteur Cardinal, Jean
Co-Promoteur Iacono, John
Publication Non publié, 2024-09-09
Thèse de doctorat
| Résumé : | Cette thèse prouve de nouveaux résultats sur l'efficacité avec laquelle certains problèmes peuvent être ou non résolus, pour différentes notions d'efficacité (telles que la complexité en temps, en espace, ou encore le facteur d'approximation), avec un accent particulier sur des problèmes de géométrie algorithmique.La première partie de la thèse traite de trois problèmes où l'entrée peut être représentée comme un ensemble de points rouges et bleus dans le plan. Nous étudions d'abord le problème qui consiste à trouver une paire de points rouge/bleu telle que le point rouge soit aussi proche que possible du point bleu tandis que le point bleu soit aussi éloigné que possible du point rouge.Plus généralement, nous étudions le problème consistant à trouver un point selle strict dans une matrice. Nous fournissons un algorithme avec une complexité dans le pire des cas de O(n log*(n)),battant la barrière de 30 ans de O(n log n). Nous étudions ensuite le problème de couverture simultanée par des boîtes : couvrir tous les points rouges avec des boîtes rouges et les points bleus avec des boîtes bleues, de sorte que les boîtes de la même couleur soient disjointes, tout en minimisant le nombre total de boîtes. Des bornes supérieures et inférieures sur la qualité de l'approximation d'une solution en temps polynomial (en supposant que P est différent de NP) sont démontrées.Le dernier problème de cette partie est le problème de visibilité bichromatique rectiligne, où l'on souhaite trouver toutes les paires de points rouge/bleu qui délimitent une boîte alignée sur les axes vide. Nous l'étudions sous l'angle d'une notion d'efficacité beaucoup plus raffinée que la complexité en temps dans le pire des cas (connue sous le nom d'instance-optimality), et fournissons un algorithme que nous prouvons être le meilleur possible pour cette notion.La deuxième partie de la thèse traite d'une variété de structures de données. Cela consiste principalement en deux axes de recherche. Dans le premier, nous montrons comment un outil provenant à l'origine du domaine de la cryptographie (l'inversion de fonction) peut être utilisé pour obtenir une grande variété de structures de données avec des requêtes de recherche rapides et un stockage limité. Dans le deuxième axe de recherche, nous prouvons des bornes inférieures conditionnelles sur la complexité d'une variété de structures de données géométriques dynamiques. Pour la plupart d'entre elles, aucune borne inférieure polynomiale sur le temps d'exécution n'était auparavant connue, et elles avaient seulement été étudiées sous l'angle de l'amélioration des bornes supérieures. |
