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Hopf categories, Frobenius categories and Homotopy Quantum Field Theories

par Grosskopf, Paul
Président du jury Spenko, Špela
Promoteur Vercruysse, Joost
Co-Promoteur Virelizier, Alexis A.V.
Publication Non publié, 2024-06-27

Thèse de doctorat

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Résumé :

After its introduction by Atiyah in 1988 the notion of Topological Quantum Field Theories (TQFTs) has been generalized in various ways, most notably Homotopy Quantum Field Theories (HQFTs). TQFTs in dimension 2 are characterized by commutative Frobenius algebras and the representations of Hopf algebras give rise to TQFTs in dimension 3. In the context of symmetric monoidal categories these algebraic structures can be easily generalized by multi-object versions of them: Hopf categories and Frobenius categories.\\The first half of this thesis explores Hopf categories, its variations and subordinate structures. Apart from generalizing characteristics of Hopf algebras to this new notions, we describe their categorical properties like (co)completeness, their (co)generators and adjunctions. Particularly, we prove the existence and construct the (co)free Hopf category over a semi-Hopf category, which extends the free and cofree Hopf algebra over a bialgebra.\\Furthermore, we prove that Frobenius algebras form a Hopf category, if one replaces their sets of morphisms by the universal measuring coalgebras, and dually they form a Hopf opcategory, if we one uses the universal comeasuring algebras. Moreover, we describe various dualities in and between the theories of measurings and comeasurings of Frobenius algebras and use them to give concrete examples.\\In 1999 Turaev classified HQFTs with crossed Frobenius $G$-algebras in the case where the target is a connected homotopy 1-type $X$ with fundamental group $G$. Further, HQFTs in dimension 2 with target homotopy 2-types give rise to twisted Frobenius algebras, short TF-algebras.\\In the second half of the thesis we first use a multi-object approach to extend the classification to HQFTs with multiple base points and target non-connected homotopy 1-type by replacing the fundamental group by the fundamental groupoid. \\Secondly we give a classification theorem for HQFTs with target homotopy 2-type. Since these spaces are characterized by crossed modules, denoted by $\chi$, we define $\chi$-crossed Frobenius categories. Finally, we conclude that $\chi$-crossed Frobenius algebras with one object are TF algebras.

Après son introduction par Atiyah en 1988, la notion de théorie quantiques des champs topologiques (TQFTs, angl.: "Topological Quantum Field Theories") a été généralisée à bien des égards, notamment par les théories quantiques des champs d'homotopie (HQFTs, angl.: "Homotopy Quantum Field Theories"). Les TQFTs en dimension 2 sont caractérisées par des algèbres de Frobenius commutatives et les représentations des algèbres de Hopf donnent lieu à des TQFTs en dimension 3. Dans le contexte des catégories monoïdales symétriques, on peut généraliser ces structures algébriques par des versions en plusieurs objets (angl.: "multi-object versions") : des catégories de Hopf et des catégories de Frobenius. \\La première partie de cette thèse explore les catégories de Hopf, leurs variations et structures subalternes. En plus de généraliser des caractéristiques des algèbres de Hopf à cette nouvelle notion, on décrit leurs propriétés catégoriques comme la (co)complétude, les (co)générateurs et des adjonctions. En particulier, on prouve l’existence et on construit des catégories (co)libres pour des catégories semi-Hopf, qui étendent les algèbres de Hopf libres et libres pour des bialgèbres. \\Ensuite, on prouve que les algèbres de Frobenius forment une catégorie de Hopf, si on remplace leurs ensembles de morphismes par des coalgèbres universelles de mesures (angl.: «universal measuring coalgebra») et de manière duale ils forment une op-catégorie de Hopf, si on utilise des algèbres universelles de comesures. De plus, on décrit plusieurs dualités dans et entre les théories de mesures et comesures et on les utilise pour donner des exemples concrets.\\En 1999, Turaev a classifié les HQFTs par des $G$-algèbres de Frobenius croisées dans le cas où la cible est type-1 d’homotopie connexe $X$ avec groupe fondamental $G$. De plus, les HQFTs en dimension 2 avec cible type-2 d’homotopie donnent lieu à des algèbres de Frobenius tordues (angl.: "twisted Frobenius algebras"), abrégées TF-algèbres.\\Dans la seconde partie de cette thèse, on utilise d’une part des versions en plusieurs objets pour étendre cette classification à les HQFTs en plusieurs points de base avec cible type-1 d’homotopie non-connexe en remplaçant le groupe fondamental par le groupoïde fondamental. \\D’autre part, on donne un théorème de classification des HQFTs avec cible type-2 d’homotopie. Comme ces espaces sont caractérisés par des modules croisés (angl.: "crossed modules") dénotés $\chi$, on arrive à la définition des catégories de Frobenius $\chi$-croisées. Finalement, on conclut que les catégories de Frobenius $\chi$-croisées avec un seul objet sont des TF-algèbres.