par Hoffreumon, Timothée
Président du jury Roland, Jérémie
Promoteur Oreshkov, Ognyan
Publication Non publié, 2023-12-15
Thèse de doctorat
Résumé : Les transformations de transformations, également appelées processus d'ordres supérieurs, forment un concept courant en informatique et en traitement de l'information. De tels processus apparaissent dès qu'il est question de manipulations sur l'opération à appliquer aux données, plutôt que sur les données elles-mêmes. Par exemple, lorsque l'on veut représenter un protocole informatique avec des boucles de rétroaction d'opérations, comme des boucles "for" imbriquées, ou lorsque l'on veut représenter un protocole de communication avec un contrôle dynamique des opérations, comme lorsqu'un adversaire agit sur les données d'entrée et de sortie d'une autre partie afin de la tromper, on utilisera des processus d'ordre supérieur.Ce paradigme appliqué à l'informatique quantique a récemment suscité un grand intérêt, tant au niveau pratique que fondamental. D'une part, il a été démontré que certains processus quantiques d'ordre supérieur permettaient de réduire le nombre d'opérations nécessaires à la réalisation de certains protocoles. D'autre part, ces processus présentent parfois des relations causales indéfinies au sens quantique du terme ; l'ordre des événements A et B peut se superposer entre A puis B et B puis A. Ce comportement est d'un grand intérêt fondamental car il remet en question certaines idées préconçues que d'aucun pensent incompatibles avec une théorie quantique de la gravité.Un cadre général pour représenter les transformations quantiques d'ordres supérieurs est dès lors nécessaire pour pleinement exploiter les améliorations qu'elles apportent et, en parallèle, pour étudier les relations causales quantiques singulières qu'elles présentent. Pareil cadre est développé dans cette thèse. Plus précisément, un ensemble d'outils pour caractériser les processus quantiques d'ordre supérieurs valides reposant sur la dualité canal-état ainsi que l'utilisation de projecteurs superopératoires est présenté. Il est montré que les manières possibles de définir un ensemble donné de transformations d'un même ordre sont homomorphes à une algèbre de ces projecteurs superopératoires, qui sont à leur tour homomorphes aux relations de signalisation que les objets de cet ensemble peuvent permettre. De plus, il est démontré que cette algèbre est très proche d'un modèle de logique linéaire appelé BV. Ainsi, la définition d'une transformation au moyen de ces projecteurs se réduit à l'élaboration de formules logiques, tandis que l'énumération des relations causales qu'elle comporte se réduit à des manipulations symboliques sur ces formules.
Transformations of transformations, also called higher-order processes, is a commonly occurring concept in computing and information processing. Such processes arise in situations involving manipulations of the operation applied to the data, rather than of the data itself. For example, when one wants to represent a computing protocol with feedback loops of operations, like nested 'for loops', or when one wants to represent a communication protocol with dynamical control over operations, like where an adversary party is acting on the input and output data of some other party so to deceive her, higher-order processes will be used. Applied to quantum computing, this paradigm has recently attracted significant interest both at the practical and fundamental levels. On the one hand, specific higher-order quantum processes were shown to decrease the number of operations needed to realize certain protocols. On the other hand, these processes sometimes feature causal relations that are ‘indefinite’ in the quantum sense; the ordering of events A and B can become superposed between A then B and B then A. This behavior is of great fundamental interest as it challenges some pre-conceived ideas some believe to be incompatible with a quantum theory of gravity. A general framework to represent higher-order quantum transformations is then necessary to fully harness the improvements they provide and, in parallel, to study the puzzling quantum causal relations they feature. Such a framework is developed in this thesis. Specifically, a set of tools for characterizing valid higher-order quantum processes relying on channel-state duality and the use of superoperator projectors is presented. It is shown that the possible ways to define a given set of higher-order transformations are homomorphic to an algebra of these superoperator projectors, which are in turn homomorphic to the signaling relations that the objects in this set may allow. Moreover, this algebra is shown to be very close to a model of linear logic called BV. Whence, defining a transformation through these projectors is reduced to forming logic-like formulae, whereas tracking down the causal relations it features is reduced to symbolic manipulations of these formulae.

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