par Van Herstraeten, Zacharie 
Président du jury Pironio, Stefano
Promoteur Cerf, Nicolas
Publication Non publié, 2021-12-10
Président du jury Pironio, Stefano
Promoteur Cerf, Nicolas
Publication Non publié, 2021-12-10
Thèse de doctorat
| Résumé : | This thesis is centered on a novel approach to quantum uncertainty based on applying the theory of continuous majorization to quantum phase-space distributions. Majorization theory is a powerful mathematical framework that is aimed at comparing distributions with respect to intrinsic disorder. It is particularly significant in the sense that establishing a majorization relation between two distributions amounts to proving that every (Shur-concave) measure of disorder will categorize one distribution as more ordered than the other. Although this is less known, the distributions here do not need to be normalized nor positive for majorization theory to apply, so the latter even extends beyond probability distributions. Further, a majorization relation can rigorously be defined for both discrete and continuous distributions over a finite-size domain, as well as for (discrete and continuous) distributions that are positive over an infinite-size domain.The central thrust of this thesis is to characterize quantum uncertainty in phase space by applying the tools of majorization theory to the Wigner function, which is the most common (quasi)distribution that embodies a quantum state in phase space. Wigner functions are in general positive and negative, putting them beyond the reach of most information-theoretical measures but perfect candidates for the theory of majorization. We start our manuscript with a succinct overview of the basics of quantum optics in phase space, which are a prerequisite for the characterization of disorder in phase space. This gives us the occasion to present a secondary achievement of the thesis consisting in establishing a resource theory for local Gaussian work extraction, which exploits the symplectic formalism within quantum thermodynamics. In this context, work can be defined as the difference between the trace and symplectic trace of the covariance matrix of the state, and it displays a number of interesting properties. Back to our primary interest, our first contribution is to construct an extended formulation of majorization with the applicability to Wigner functions as our main objective. It must be stressed that when relaxing the positivity condition, majorization relations have not been addressed in the literature for (discrete or continuous) distributions defined over an infinite-size domain. Here, we write extended majorization relations that equally apply to discrete or continuous, positive or negative distributions defined over a finite-size or infinite-size domain. Then, applying these to Wigner functions (which can be negative and have an infinite-size domain), our first finding is that all pure states are either incomparable or equivalent as regards majorization. Hence, any pure state cannot be objectively deemed more disordered than any other one in phase space, so that majorization appears to be better suited to compare mixed states.A large part of the thesis is then concerned with the convex set of quantum states that have a positive Wigner function, seeking a better understanding of its structure. As a consequence of Hudson theorem, this set only contains mixed states, with the notable exception of Gaussian pure states. We highlight a large subset of Wigner-positive states that can be prepared using a balanced beam-splitter and show that these states play a key role in the geometry of the Wigner-positive set as they are extremal states. Restricting ourselves to Wigner-positive states, we formulate the conjecture that the Gaussian pure states (most notably, the vacuum state) are the states of least disorder, which is expressed via a fundamental majorization relation. This conjecture is supported by numerical simulations and is analytically proven over the subset of phase-invariant states containing up to two photons. It can be viewed as a precursor to all uncertainty relations in phase space.Our next contribution pertains to the usage of information theory in quantum phase space. The conjectured fundamental majorization relation for Wigner-positive states implies in turn an infinite number of inequalities relating Schur-concave functionals, most notably the Rényi entropy and the Shannon differential entropy of the Wigner function. We define the latter as the Wigner entropy of a state, and conjecture that it is lower bounded by $lnpi+1$, namely the value it takes for Gaussian pure states. We then prove that this bound holds over the thermodynamically-relevant set of passive states in arbitrary dimension. The Wigner entropy is itself a lower bound on the sum of the entropies of the marginal distributions in phase space, which makes a clear connection with the entropic uncertainty relations of Białynicki-Birula and Mycielski (which are implied by our conjecture). Interestingly, the Wehrl-Lieb conjecture is also a consequence of our conjecture (while it does not imply it). Turning back to uncertainty measures that could also be applicable to Wigner-negative states, we also investigate which Schur-concave functionals can be considered as relevant uncertainty measures in phase space.A last contribution of the thesis concerns (discrete) majorization in state space, which is the usual way of applying majorization theory to quantum physics as described in the literature. Here, we focus on Gaussian phase-invariant bosonic channels and demonstrate the existence of a majorization ladder for Fock states at the input of the channel. This extends a prior analysis that was restricted to special (quantum-limited) channels. We also find a simple relation to determine whether such channels produce a Wigner-positive state for any input state, echoing the condition for entanglement-breaking channels. We hope that these considerations may help resolving some of the pending questions regarding entropies in bosonic systems and channels. |
| Cette thèse est centrée sur une nouvelle approche de l'incertitude quantique basée sur l'application de la théorie de la majorisation continue aux distributions de l'espace des phases quantique. La théorie de la majorisation est un cadre mathématique puissant qui vise à comparer des distributions par rapport à leur désordre intrinsèque. Elle est particulièrement importante dans le sens où établir une relation de majorisation entre deux distributions revient à prouver que toute mesure (Shur-concave) du désordre classera une distribution comme plus ordonnée que l'autre. Bien que cela soit moins connu, les distributions ici n'ont pas besoin d'être normalisées ni positives pour que la théorie de la majorisation s'applique, de sorte que cette dernière s'étend même au-delà des distributions de probabilité. De plus, une relation de majorisation peut être rigoureusement définie pour les distributions discrètes et continues sur un domaine de taille finie, ainsi que pour les distributions (discrètes et continues) qui sont positives sur un domaine de taille infinie. L'idée maîtresse de cette thèse est de caractériser l'incertitude quantique dans l'espace des phases en appliquant les outils de la théorie de la majorisation à la fonction de Wigner, qui est la (quasi-)distribution la plus commune qui incarne un état quantique dans l'espace des phases. Les fonctions de Wigner sont en général positives et négatives, ce qui les place hors de portée de la plupart des mesures de la théorie de l'information mais en fait des candidats parfaits pour la théorie de la majorisation. Nous commençons notre manuscrit par un aperçu succinct des bases de l'optique quantique dans l'espace de phase, qui sont une condition préalable à la caractérisation du désordre dans l'espace des phases. Cela nous donne l'occasion de présenter une réalisation secondaire de la thèse consistant à établir une théorie des ressources pour l'extraction du travail gaussien local, qui exploite le formalisme symplectique au sein de la thermodynamique quantique. Dans ce contexte, le travail peut être défini comme la différence entre la trace et la trace symplectique de la matrice de covariance de l'état, et il présente un certain nombre de propriétés intéressantes. De retour à notre intérêt principal, notre première contribution est de construire une formulation étendue de la majorisation avec comme objectif principal l'applicabilité aux fonctions de Wigner. Il faut souligner qu'en relâchant la condition de positivité, les relations de majorisation n'ont pas été abordées dans la littérature pour les distributions (discrètes ou continues) définies sur un domaine de taille infinie. Ici, nous écrivons des relations de majorisation étendues qui s'appliquent également aux distributions discrètes ou continues, positives ou négatives, définies sur un domaine de taille finie ou infinie. Ensuite, en appliquant ces relations aux fonctions de Wigner (qui peuvent être négatives et ont un domaine de taille infinie), notre première conclusion est que tous les états purs sont soit incomparables soit équivalents en ce qui concerne la majorisation. Par conséquent, aucun état pur ne peut être objectivement considéré comme plus désordonné qu'un autre dans l'espace des phases, de sorte que la majorisation semble mieux adaptée pour comparer des états mixtes.Une grande partie de la thèse est ensuite consacrée à l'ensemble convexe des états quantiques qui ont une fonction de Wigner positive, en cherchant à mieux comprendre sa structure. Comme conséquence du théorème de Hudson, cet ensemble ne contient que des états mixtes, à l'exception notable des états purs gaussiens. Nous mettons en évidence un grand sous-ensemble d'états de Wigner-positifs qui peuvent être préparés à l'aide d'un séparateur de faisceau équilibré et nous montrons que ces états jouent un rôle clé dans la géométrie de l'ensemble de Wigner-positif car ce sont des états extrémaux. En nous limitant aux états de Wigner positifs, nous formulons la conjecture que les états purs gaussiens (plus particulièrement l'état de vide) sont les états de moindre désordre, ce qui s'exprime par une relation fondamentale de majorisation. Cette conjecture est étayée par des simulations numériques et prouvée analytiquement sur le sous-ensemble des états à phase invariante contenant jusqu'à deux photons. Elle peut être considérée comme un précurseur de toutes les relations d'incertitude dans l'espace des phases.Notre contribution suivante concerne l'utilisation de la théorie de l'information dans l'espace des phases quantiques. La relation de majorisation fondamentale conjecturée pour les états de Wigner positifs implique à son tour un nombre infini d'inégalités relatives aux fonctions Schur-concaves, plus particulièrement l'entropie de R'enyi et l'entropie différentielle de Shannon de la fonction de Wigner. Nous définissons cette dernière comme l'entropie de Wigner d'un état, et nous conjecturons qu'elle est limitée inférieurement par $lnpi+1$, à savoir la valeur qu'elle prend pour les états purs gaussiens. Nous prouvons ensuite que cette limite est valable pour l'ensemble thermodynamiquement pertinent des états passifs en dimension arbitraire. L'entropie de Wigner est elle-même une borne inférieure sur la somme des entropies des distributions marginales dans l'espace des phases, ce qui établit un lien clair avec les relations d'incertitude entropique de Białynicki-Birula et Mycielski (qui sont impliquées par notre conjecture). Il est intéressant de noter que la conjecture de Wehrl-Lieb est également une conséquence de notre conjecture (alors qu'elle ne l'implique pas). Pour en revenir aux mesures d'incertitude qui pourraient également être applicables aux états négatifs de Wigner, nous étudions également quelles fonctions Schur-concaves peuvent être considérées comme des mesures d'incertitude pertinentes dans l'espace des phases.Une dernière contribution de la thèse concerne la majorisation (discrète) dans l'espace des états, qui est la manière habituelle d'appliquer la théorie de la majorisation à la physique quantique telle que décrite dans la littérature. Ici, nous nous concentrons sur les canaux bosoniques gaussiens invariants en phase et démontrons l'existence d'une échelle de majorisation pour les états de Fock à l'entrée du canal. Ceci étend une analyse antérieure qui était limitée aux canaux spéciaux (limités en quantum). Nous trouvons également une relation simple pour déterminer si de tels canaux produisent un état de Wigner positif pour tout état d'entrée, faisant écho à la condition pour les canaux de rupture d'intrication. Nous espérons que ces considérations pourront aider à résoudre certaines des questions en suspens concernant les entropies dans les systèmes et les canaux bosoniques. |
