# Fluctuations, Counting Statistics, and Charge Transport in Mesoscopic Systems

par Gu, Jiayin
Président du jury Kozyreff, Gregory
Promoteur Gaspard, Pierre
Publication Non publié, 2020-09-11
Thèse de doctorat
 Résumé : In this thesis, we study the transport of charged particles in mesoscopic systems where the long-range electrostatic interaction plays a key role. In particular, we focus on the statistical properties of currents which satisfy the relation known as fluctuation theorem. A stochastic approach is presented in consistency with the laws of electricity, thermodynamics, and microreversibility. In this approach, densities of charged particles are ruled by stochastic partial differential equations and the electric field generated by the charges is determined with the Poisson equation.We start by proposing a coarse-grained model to describe the long-time behavior of particle transport in nonequilibrium systems in contact with several reservoirs. In this model, the particle exchanges between the reservoirs can be determined after a long enough time by the first and second cumulants of the probability distribution of particle transfers, thus enabling the numerical evaluation of the driving forces. It is proved that, close to equilibrium, the coarse-grained model is applicable to any system in nonequilibrium steady state. Moreover, the studies with specific examples show that the range of application of the coarse-grained model can be extended to the regime arbitrarily far from equilibrium if the detailed transition rates have linear dependence on the local particle concentration. In addition, the finite-time fluctuation theorem is established for systems with linear rates.Then, we use our stochastic approach to study charge transport in diodes and transistors. The counting statistics of the carrier current and the measured total current including the contribution of the displacement current are performed. The fluctuation theorem is shown to hold for both currents. The convergence of the finite-time affinities towards their asymptotic values over long-time scales is tested using our proposed coarse-grained model. Accurate agreement between the numerical affinities and the theoretical predictions is found when affinities take moderate values. This brings further numerical support to the fluctuation theorem for the currents in these nonlinear electronic devices. For diodes, the current-voltage characteristics is obtained, which can be well fit by Shockley curve under the extreme condition where the concentration of majority charge carriers is overwhelmingly larger than that of minority charge carriers. For transistors, the signal amplifying effect is realized under their working conditions. Moreover, the Onsager reciprocal relations and their generalizations to nonlinear transport properties deduced from the fluctuation theorem are numerically shown to be satisfied.Finally, we proceed to investigate the charge transport in a system of three tunneling junctions coupled together through a conductive island or quantum dot. The cumulant generating function is obtained by numerically solving the eigenvalue problem regarding the modified evolution operator including the counting parameters. The symmetry relation implied by the fluctuation theorem is verified, and the Onsager reciprocal relations together with their generalizations are again shown to be satisfied. Furthermore, under certain conditions, the current-voltage characteristics shows the staircase pattern due to the Coulomb blockade effect. Le transport de particules charg´ees est ´etudi´e dans les syst`emes m´esoscopiques o`u l’interaction ´electrostatique`a longue port´ee joue un rˆole central. En particulier, l’´etude porte sur les propri´et´es statistiques des courants quisatisfont la relation appel´ee th´eor`eme de fluctuations. Une approche stochastique est pr´esent´ee en accord avec leslois de l’´electricit´e, la thermodynamique et la micror´eversibilit´e. Dans cette approche, les densit´es des particlescharg´ees sont gouvern´ees par des ´equations stochastiques aux d´eriv´ees partielles et le champ ´electrique est d´etermin´epar l’´equation de Poisson. Tout d’abord, un mod`ele stochastique r´eduit est propos´e pour d´ecrire le transport departicules dans les syst`emes de non-´equilibre en contact avec plusieurs r´eservoirs. Dans ce mod`ele, les ´echanges departicules entre les r´eservoirs sont d´etermin´es aux temps longs en termes des premiers et seconds cumulants de ladistribution de probabilit´e des transferts de particules, ce qui permet l’´evaluation num´erique des forces d’entraˆınement.Il est prouv´e que, pr`es de l’´equilibre, ce mod`ele peut s’appliquer `a tout syst`eme dans un ´etat stationnaire de non-´equilibre. Par ailleurs, l’´etude d’exemples sp´ecifiques montre que le domaine d’application de ce mod`ele s’´etend `a desr´egimes arbitrairement loin de l’´equilibre si les taux de transition ont des d´ependances lin´eaires en la concentrationde particules. En plus, le th´eor`eme de fluctuations `a temps fini est ´etabli pour ces syst`emes avec des taux lin´eaires.Ensuite, l’approche stochastique est utilis´ee pour ´etudier le transport de charges dans les diodes et les transistors.La statistique de comptage est effectu´ee pour le courant des porteurs de charge et le courant total mesur´e incluantla contribution du courant de d´eplacement. Le th´eor`eme de fluctuations est d´emontr´e pour les deux courants. Laconvergence des affinit´es `a temps fini vers leur valeur asymptotique est test´ee en utilisant le mod`ele stochastiquer´eduit. Un accord est observ´e entre les affinit´es obtenues num´eriquement et les pr´edictions th´eoriques si les affinit´esprennent des valeurs mod´er´ees. Tous ces r´esultats apportent des v´erifications num´eriques du th´eor`eme de fluctuationsdes courants dans les circuits ´electroniques non-lin´eaires. Pour les diodes, la courbe caract´eristique courant-tension estobtenue et celle-ci peut ˆetre ajust´ee par la courbe de Shockley si la concentration des porteurs de charge majoritairesest beaucoup plus grande que celle des porteurs minoritaires. Pour les transistors, l’effet d’amplification du signal estmis en ´evidence dans les conditions de fonctionnement normal. De plus, il est montr´e num´eriquement que les relationsde r´eciprocit´e d’Onsager sont satisfaites, ainsi que certaines de leurs g´en´eralisations aux propri´et´es non-lin´eaires detransport d´eduites du th´eor`eme de fluctuations. Finalement, le transport de charges est ´etudi´e dans un syst`eme form´ede trois jonctions `a effet tunnel coupl´ees par un plot conducteur (quantique). La fonction g´en´eratrice des cumulantsest alors obtenue par r´esolution num´erique du probl`eme aux valeurs propres de l’op´erateur d’´evolution modifi´e pourinclure les param`etres de comptage. La relation de sym´etrie d´eduite du th´eor`eme de fluctuations est v´erifi´ee, ainsique les relations de r´eciprocit´e d’Onsager et leurs g´en´eralisations. Par ailleurs, sous certaines conditions, les courbescaract´eristiques courant-tension montrent une structure en marches d’escalier due `a l’effet de blocage coulombien.