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Quantum Weak Coin Flipping: where weakness is a virtue

par Arora, Atul Singh
Président du jury Cerf, Nicolas
Promoteur Roland, Jérémie
Publication Non publié, 2020-08-25

Thèse de doctorat

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Résumé :

We investigate weak coin flipping, a fundamental cryptographic primitive where two distrustful parties need to remotely establish a shared random bit. A cheating party can try to bias the output bit towards a preferred value. For weak coin flipping the parties have known opposite preferred values. By a weak coin flipping protocol with bias ϵ we mean that neither player can force the outcome towards their preferred value with probability more than 1/2+ϵ. While it is known that classically, ϵ=1/2 (the worst possible), Mochon showed in 2007 that quantumly, weak coin flipping can be performed with arbitrarily small bias (near perfect). His non-constructive proof used the so-called point game formalism—a series of equivalent reductions which were introduced by Kitaev to study coin-flipping. He constructed point games with bias ϵ(k)=1/(4k+2) to prove the existence. The best known explicit protocol, however, had bias approaching ϵ(1)=1/6 (also due to Mochon, 2005). In the present work, we try to make the non-constructive part of the proof constructive, to wit, we make three main contributions towards the conversion of point-games into explicit protocols. First, we propose a framework—TIPG-to-Explicit-protocol Framework (TEF)—which simplifies the task of constructing explicit protocols. We use this framework to construct a protocol with bias ϵ(2)=1/10. We then give the exact formulae for the unitaries corresponding to the point-games due to Mochon, allowing us to describe (almost) perfect coin flipping protocols analytically, i.e. with bias ϵ(k) for arbitrarily large k. Finally, we introduce an algorithm we call the Elliptic Monotone Align (EMA) algorithm. This algorithm, together with TEF, lets us convert any point-game into an explicit protocol numerically. We conclude by giving another analytic construction of unitaries for Mochon's games using the ellipsoid picture introduced for the EMA algorithm.

Nous étudions le weak coin flipping, une primitive cryptographique fondamentale où deux parties méfiantes doivent établir à distance un bit aléatoire partagé. Un tricheur peut essayer de biaiser le bit de sortie vers une valeur préférée. Pour le weak coin flipping, les parties ont des valeurs préférées opposées. Par un protocole de weak coin flipping avec biais ϵ, nous entendons qu'aucun des deux joueurs ne peut forcer le résultat vers sa valeur préférée avec une probabilité supérieure à 1/2+ϵ. Alors que l'on sait que classiquement, ϵ=1/2 (le pire possible), Mochon a montré en 2007 qu'un weak coin flipping quantique peut être effectué avec un biais arbitrairement faible (presque parfait). Sa preuve non constructive a utilisé le formalisme dit du jeu de points (point games)—une série de réductions équivalentes qui ont été introduites par Kitaev pour étudier le coin flipping. Il a construit des jeux de points avec un biais ϵ(k)=1/(4k+2) pour en prouver l'existence. Le protocole explicite le plus connu, cependant, avait un biais approchant ϵ(1)=1/6 (également dû à Mochon, 2005). Dans le présent travail, nous essayons de rendre la partie non constructive de la preuve constructive, c'est-à-dire que nous apportons trois contributions principales à la conversion des jeux de points en protocoles explicites. Premièrement, nous proposons un cadre—TIPG-to-Explicit-protocol Framework (TEF)—qui simplifie la tâche de construction de protocoles explicites. Nous utilisons ce cadre pour construire un protocole avec un biais ϵ(2)=1/10. Nous donnons ensuite les formules exactes des unitaires correspondant aux jeux de points dus à Mochon, ce qui nous permet de décrire analytiquement des protocoles de coin flipping (presque) parfaits, c'est-à-dire avec un biais ϵ(k) pour un k arbitrairement grand. Enfin, nous introduisons un algorithme que nous appelons le Elliptic Monotone Align (EMA) Algorithm. Cet algorithme, associé à TEF, nous permet de convertir numériquement tout jeu de points en un protocole explicite. Nous concluons en donnant une autre construction analytique des unitaires pour les jeux de Mochon en utilisant l'image ellipsoïdale introduite pour l'algorithme EMA.