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Analyse asymptotique des équations de Hardy-Sobolev dans des espaces singuliers

par Cheikh-Ali, Hussein
Président du jury Premoselli, Bruno
Promoteur Bonheure, Denis ;Robert, Frédéric
Publication Non publié, 2019-12-02

Thèse de doctorat

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Résumé :

Dans ce manuscrit, divisé en 3 parties, nous étudions des extrémales d'inégalités de Hardy-Sobolev.Partie 1 : Nous obtenons l’existence de solutions singulières pour l'équation de Hardy-Schrödinger perturbé ou non sur un domaine non régulier avec le point singulier 0 de l'équation se trouvent sur le bord du domaine. En particulier, nous introduisons une courbure géométrique G qui généralisé la courbure moyenne pour les ”grandes dimensions (G.D.)” et une notion nouvelle de masse m pour les ”petites dimensions (P.D.)”. Notre résultat principal est que dans le cas d’un potentiel variable du terme perturbatif sous-critique, une interaction entre perturbation et G en 0 (resp. m) dans le cas G.D. (resp. P.D.) apparaît. En plus, la négativité de la courbure G (resp. la positivité de la masse m) pour les G.D. (resp. P.D.) est suffisant lorsque la perturbation n’aucun effet.Partie 2 : Dans cette partie, nous travaillons sur l’analyse asymptotique des sous-extrémales explosives. Nous effectuons une analyse de blow-up pour une équation de Hardy-Sobolev. Dans un premier temps, nous obtenons un contrôle ponctuel optimal de la suite de solutions. Dans un second temps, nous obtenons des informations précises sur le point d’explosion en utilisant une identité de Pohozaev.Partie 3 : Nous considérons la meilleure constante dans une inégalité critique de second ordre de Sobolev. Nous montrons la non-rigidité pour les optimiseurs au-dessus d’un certain seuil, à savoir nous prouvons que la meilleure constante est atteinte par une solution non constante du problème elliptique de quatrième ordre sous des conditions limites de type Neumann. Nos arguments reposent sur des estimations asymptotiques du Quotient de Rayleigh. Nous montrons également la rigidité en dessous d’un autre seuil pour les solutions de moindre énergie.