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Algorithms and Data Structures for 3SUM and Friends

par Ooms, Aurélien
Président du jury Langerman, Stefan
Promoteur Cardinal, Jean
Publication Non publié, 2019-10-07

Thèse de doctorat

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Résumé :

Les problèmes 3SUM, k-SUM, et GPT sont considérés comme des problèmes clés de la classe de complexité P en ce qu'ils capturent la complexité de nombreux autres problèmes de cette classe.Malgré leur ancienneté dans le paysage de la géométrie algorithmique, de nombreuses questions au sujet de ces problèmes clés restent encore non résolues.Dans cette thèse nous developpons de nouveaux algorithmes et structures dedonnées pour ces problèmes: A) Nous donnons le premier algorithme efficace pour k-SUM utilisant peu de requêtes pour résoudre le problème. B) Nous définissons un problème intermediaire à 3SUM et GPT, 3POL, et montrons que les techniques existantes pour 3SUM peuvent être généralisées pour obtenir des algorithmes sous-quadratiques pour 3POL. C) Nous montrons que l'information combinatoire contenue dans une instance du problème GPT peut être encodée en un nombre sous-quadratique de bits tout en permettant l'accès efficace à cette information. D) Nous montrons que le nombre de bits d'un tel encodage peut être encore réduit significativement pour les instances obtenues à partir de la réduction du problème 3SUM.Ces nouveaux résultats nous permettent de mieux comprendre la nature fondamentale de ces problèmes. Par exemple, le point B) nous permet de résoudre certaines instances de GPT en temps sous-quadratique en exploitant leur structure.Malgré nos efforts, certaines questions restent encore ouvertes. On ne sait par exemple toujours pas si GPT admet un algorithme en temps sous-quadratique, uniforme ou non, dans les modèles de calculs habituellement étudiés.Nous espérons que les résultats développés dans cette thèse amènerons un jour, directement ou indirectement, à la résolution d'une ou plusieurs de ces questions ouvertes.

This thesis is a compilation of the contributions from four papers: A) Solving k-SUM Using Few Linear Queries with Jean Cardinal and John Iacono. B) Subquadratic Algorithms for Algebraic 3SUM with Luis Barba, Jean Cardinal, John Iacono, Stefan Langerman, and Noam Solomon. C) Subquadratic Encodings for Point Configurations with Jean Cardinal, Timothy Chan, John Iacono, and Stefan Langerman. D) Encoding 3SUM with Sergio Cabello, Jean Cardinal, John Iacono, Stefan Langerman, and Pat Morin.