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The Discrete Ordered Median Problem revisited: new formulations, properties and algorithms

par Ponce Lopez, Diego
Président du jury Mesa López-Colmenar, Juan Antonio
Promoteur Labbé, Martine ;Puerto Albandoz, Justo
Publication Non publié, 2016-07-18

Thèse de doctorat

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Résumé :	This dissertation studies in depth the structure of the Discrete Ordered Median Problem (DOMP), to define new formulations and resolution algorithms. Furthermore we analyze an interesting extension for DOMP, namely MDOMP (Monotone Discrete Ordered Median Problem). This thesis is structured in three main parts.First, a widely theoretical and computational study is reported. It presents several new formulations for the Discrete Ordered Median Problem (DOMP) based on its similarity with some scheduling problems. Some of the new formulations present a considerably smaller number of constraints to define the problem with respect to some previously known formulations. Furthermore, the lower bounds provided by their linear relaxations improve the ones obtained with previous formulations in the literature even when strengthening is not applied. We also present a polyhedral study of the assignment polytope of our tightest formulation showing its proximity to the convex hull of the integer solutions of the problem. Several resolution approaches, among which we mention a branch and cut algorithm, are compared. Extensive computational results on two families of instances, namely randomly generated and from Beasley's OR-library, show the power of our methods for solving DOMP. One of the achievements of the new formulation consists in its tighter LP-bound. Secondly, DOMP is addressed with a new set partitioning formulation using an exponential number of variables. This chapter develops a new formulation in which each variable corresponds to a set of demand points allocated to the same facility with the information of the sorting position of their corresponding distances. We use a column generation approach to solve the continuous relaxation of this model. Then, we apply a branch-cut-and-price algorithm to solve to optimality small to moderate size of DOMP in competitive computational time.To finish, the third contribution of this dissertation is to analyze and compare formulations for the monotone discrete ordered median problem. These formulations combine different ways to represent ordered weighted averages of elements by using linear programs together with the p-median polytope. This approach gives rise to two efficient formulations for DOMP under a hypothesis of monotonicity in the lambda vectors. These formulations are theoretically compared and also compared with some other formulations valid for the case of general lambda vector. In addition, it is also developed another new formulation, for the general case, that exploits the efficiency of the rationale of monotonicity. This representation allows to solve very efficiently some DOMP instances where the monotonicity is only slightly lost. Detailed computational tests on all these formulations is reported in the dissertation. They show that specialized formulations allow to solve to optimality instances with sizes that are far beyond the limits of those that can solve in the general case.
	Cette dissertation étudie en profondeur la structure du "Discrete Ordered Median Problem" (DOMP), afin de proposer de nouvelles formulations et de nouveaux algorithmes de résolution. De plus, une extension intéressante du DOMP nommée MDOMP ("Monotone Discrete Ordered Median Problem") a été étudiée.Cette thèse a été structurée en trois grandes parties.La première partie présente une étude riche aux niveaux théorique et expérimentale. Elle développe plusieurs formulations pour le DOMP qui sont basées sur des problèmes d'ordonnancement largement étudiés dans la littérature. Plusieurs d'entres elles nécessitent un nombre réduit de contraintes pour définir le problème en ce qui concerne certaines formulations connues antérieurement. Les bornes inférieures, qui sont obtenues par la résolution de la relaxation linéaire, donnent de meilleurs résultats que les formulations précédentes et ceci même avec tout processus de renforcement désactivé. S'ensuit une étude du polyhèdre de notre formulation la plus forte qui montre sa proximité entre l'enveloppe convexe des solutions entières de notre problème. Un algorithme de branch and cut et d'autres méthodes de résolution sont ensuite comparés. Les expérimentations qui montrent la puissance de nos méthodes s'appuient sur deux grandes familles d'instances. Les premières sont générées aléatoirement et les secondes proviennent de Beasley's OR-library. Ces expérimentations mettent en valeur la qualité de la borne obtenue par notre formulation.La seconde partie propose une formulation "set partitioning" avec un nombre exponentiel de variables. Dans ce chapitre, la formulation comporte des variables associées à un ensemble de demandes affectées à la même facilité selon l'ordre établi sur leurs distances correspondantes. Nous avons alors développé un algorithme de génération de colonnes pour la résolution de la relaxation continue de notre modèle mathématique. Cet algorithme est ensuite déployé au sein d'un Branch-and-Cut-and-Price afin de résoudre des instances de petites et moyennes tailles avec des temps compétitifs.La troisième partie présente l'analyse et la comparaison des différentes formulations du problème DOMP Monotone. Ces formulations combinent plusieurs manières de formuler l'ordre des éléments selon les moyennes pondérées en utilisant plusieurs programmes linéaires du polytope du p-median. Cette approche donne lieu à deux formulations performantes du DOMP sous l'hypothèse de monotonie des vecteurs lambda. Ces formulations sont comparées de manière théorique puis comparées à d'autres formulations valides pour le cas général du vecteur lambda. Une autre formulation est également proposée, elle exploite l'efficacité du caractère rationnel de la monotonie. Cette dernière permet de résoudre efficacement quelques instances où la monotonie a légèrement disparue. Ces formulations ont fait l'objet de plusieurs expérimentations dècrites dans ce manuscrit de thèse. Elles montrent que les formulations spécifiques permettent de résoudre des instances plus importantes que pour le cas général.
	Este trabajo estudia en profundidad la estructura del problema disctreto de la mediana ordenada (DOMP, por su acrónimo en inglés) con el objetivo de definir nuevas formulaciones y algoritmos de resolución. Además, analizamos una interesante extensión del DOMP conocida como el problema monótono discreto de la mediana ordenada (MDOMP, de su acrónimo en inglés).Esta tesis se compone de tres grandes bloques.En primer lugar, se desarrolla un detallado estudio teórico y computacional. Se presentan varias formulaciones nuevas para el problema discreto de la mediana ordenada (DOMP) basadas en su similaridad con algunos problemas de secuenciación. Algunas de estas formulaciones requieren de un cosiderable menor número de restricciones para definir el problema respecto a algunas de las formulaciones previamente conocidas. Además, las cotas inferiores proporcionadas por las relajaciones lineales mejoran a las obtenidas con formulaciones previas de la literatura incluso sin reforzar la nueva formulación. También presentamos un estudio poliédrico del politopo de asignación de nuestra formulación más compacta mostrando su proximidad con la envolvente convexa de las soluciones enteras del problema. Se comparan algunos procedimientos de resolución, entre los que destacamos un algoritmo de ramificación y corte. Amplios resultados computacionales sobre dos familias de instancias -aleatoriamente generadas y utilizando la Beasley's OR-library- muestran la potencia de nuestros métodos para resolver el DOMP.En el segundo bloque, el problema discreto de la mediana ordenada es abordado con una formulación de particiones de conjuntos empleando un número exponencial de variables. Este capítulo desarrolla una nueva formulación en la que cada variable corresponde a un conjunto de puntos de demanda asignados al mismo servidor con la información de la posición obtenida de ordenar las distancias correspondientes. Utilizamos generación de columnas para resolver la relajación continua del modelo. Después, empleamos un algoritmo de ramificación, acotación y "pricing" para resolver a optimalidad tamaños moderados del DOMP en un tiempo computacional competitivo.Por último, el tercer bloque de este trabajo se dedica a analizar y comparar formulaciones para el problema monótono discreto de la mediana ordenada. Estas formulaciones combinan diferentes maneras de representar medidas de pesos ordenados de elementos utilizando programación lineal junto con el politopo de la $p$-mediana. Este enfoque da lugar a dos formulaciones eficientes para el DOMP bajo la hipótesis de monotonía en su vector $lambda$. Se comparan teóricamente las formulaciones entre sí y frente a algunas de las formulaciones válidas para el caso general. Adicionalmente, se desarrolla otra formulación válida para el caso general que explota la eficiencia de las ideas de la monotonicidad. Esta representación permite resolver eficientemente algunos ejemplos donde la monotonía se pierde ligeramente. Finalmente, llevamos a cabo un detallado estudio computacional, en el que se aprecia que las formulaciones ad hoc permiten resolver a optimalidad ejemplos cuyo tamaño supera los límites marcados en al caso general.