Méthode des réseaux de Lagrange en mécanique quantique

Les fonctions de Lagrange sont des fonctions indéfiniment dérivables qui s'annulent en tous les points d'un réseau sauf un. Ces fonctions sont utilisées comme fonctions de base d'un calcul variationnel. Les éléments de matrice de ce calcul sont évalués à l'aide de la règle de quadrature de Gauss définie par le réseau de points. Les équations à résoudre prennent ainsi la forme d'équations sur réseau.

La méthode des réseaux de Lagrange allie simplicité et précision. La matrice représentant le potentiel est diagonale et ne dépend que des valeurs prises par le potentiel aux points du réseau. Contrairement à la méthode des différences finies, une expression analytique est obtenue pour la solution. Nous cherchons clans cette thèse à cerner les avantages et inconvénients de la méthode des réseaux de Lagrange, ainsi qu'à étendre son champ d'application en mécanique quantique. Nous montrons notamment que cette méthode peut être reliée à d'autres méthodes sur réseau, telles que les méthodes de la variable discrétisée (DVR) ou du réseau de Fourier, qui sont fort utilisées en physique atomique et moléculaire.

Dans les problèmes à deux corps, nous appliquons la méthode à l'étude des états liés et nous l'étendons au cas des collisions, c'est-à-dire aux états libres. Une nouvelle technique de calcul de la longueur de diffusion et de la portée effective est également considérée. Dans certains cas, la solution exacte du problème à deux corps existe sous forme analytique, ce qui permet une étude de la précision de la méthode en ce qui concerne les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice hamiltonienne. L'extension de la méthode aux problèmes à deux corps régis par une dynamique semi-relativiste est également examinée.

Dans le cas des problèmes à trois corps, nous effectuons une comparaison entre plusieurs systèmes de coordonnées auxquels sont couplés différents réseaux de Lagrange. Les résultats de cette comparaison dépendent de la présence de singularités dans les potentiels, celles-ci pouvant limiter fortement la précision de la méthode.

En physique nucléaire, nous comparons deux approches sur réseaux de Lagrange lors de l'étude de l'état fondamental du noyau 6He. Il s'agit d'un noyau à halo de neutrons, pour lequel il existe une forte probabilité de trouver deux des neutrons loin des autres nucléons. Le noyau 6He peut ainsi être traité comme un système à trois corps, constitué d'une particule alpha et de deux neutrons. Nous étendons également le modèle à trois corps pour ce noyau au cas d'interactions à deux corps plus générales, c'est-à-dire contenant différents opérateurs agissant sur les spins des nucléons.

En physique atomique et moléculaire, où les interactions sont, en première approximation, purement coulombiennes, nous nous sommes intéressé aux états S et P des principaux systèmes à trois corps que sont l'atome d'hélium He, les ions hydrogène H-et positronium Ps-, l'ion moléculaire d'hydrogène HZ et la molécule muonique dt"mu". Les fonctions d'onde approchées obtenues lors de la détermination des états liés sont utilisées pour évaluer des rayons quadratiques moyens et les rayons de masse de ces systèmes.