Viscosity and microscopic chaos: the Helfand-moment approach

Depuis les premiers développements de la physique statistique réalisés au 19ème siècle, nombreux ont été les travaux dédiés à la relation entre les processus macroscopiques em>irréversibles(tels que les phénomènes de transport) et les propriétés de la dynamique réversible des atomes et des molécules. Depuis deux décennies, l'hypothèse du chaos microscopique nous en apporte une plus grande compréhension. Dans cette thèse, nous nous intéressons plus particulièrement aux propriétés de viscosité.

Dans ce travail, nous considérons des systèmes périodiques de particules en interaction. Nous proposons une nouvelle méthode de calcul de la viscosité valable pour tous systèmes périodiques, quel que soit le potentiel d'interaction considéré. Cette méthode est basée sur la formule dérivée par Helfand exprimant la viscosité en fonction de la variance du moment de Helfand croissant linéairement dans le temps.

Dans les années nonante, il a été démontré qu'un système composé de seulement deux particules présente déjà de la viscosité. Les deux disques durs interagissent en collisions élastiques dans un domaine carré ou hexagonal avec des conditions aux bords périodiques. Nous appliquons notre méthode de calcul des propriétés de viscosité dans les deux réseaux. Nous donnons également une explication qualitative des résultats obtenus.

L'étude de la relation entre les propriétés de viscosité et les grandeurs du chaos microscopique représente l'une des principales tâches de cette thèse. Dans ce contexte, le formalisme du taux d'échappement joue un rôle majeur. Ce formalisme établit une relation directe entre cette grandeur et la viscosité. Nous étudions numériquement cette relation et la comparaison avec les résultats obtenus par notre méthode sont excellents.

D'autre part, le formalisme du taux d'échappement suppose l'existence d'un répulseur fractal. Après avoir mis en évidence son existence, nous appliquons le formalisme proposant une formule exprimant la viscosité en termes de l'exposant de Lyapunov du système (mesurant le caractère chaotique de la dynamique)et de la dimension fractale du répulseur. L'étude numérique de cette relation dans le modèle à deux disques durs est réalisée avec succès et sont en excellent accord avec les relations obtenus précédemment.

Enfin, nous nous penchons sur les systèmes composés de N disques durs ou sphères dures. Après une étude de l'équation d'état et des propriétés chaotiques, nous avons exploré les propriétés de viscosité dans ces systèmes. Les données numériques obtenues sont en très bon accord avec les prévisions théoriques d'Enskog. D'autre part, nous avons utilisé notre méthode de calcul de la viscosité dans des systèmes de Lennard-Jones. De plus, nous avons proposé une méthode analogue pour le calcul numérique de la conduction thermique. Nos résultats sont en très bon accord avec ceux obtenus par la méthode de Green-Kubo.

In this thesis, we first devote a section on the history of the concept of irreversibility; of the hydrodynamics, branch of physics in which the viscosity appears; of the kinetic theory of gases establishing relationships between the microscopic dynamics and macroscopic processes like viscosity; and, finally, the interest brought in statistical mechanics of irreversible processes by the theory of chaos, more precisely, the microscopic chaos. We propose a method based on the Helfand moment in order to calculate the viscosity properties in systems of particles with periodic boundary conditions. We apply this method to the simplest system in which viscosity already exists: the two-hard-disk model. The escape-rate formalism, establishing a direct relation between chaotic quantities of the microscopic dynamics (e.g. Lyapunov exponents, fractal dimensions, etc.), is applied in this system. The results are in excellent agreement with those obtained by our Helfand-moment method. We extend the calculation of the viscosity properties to systems with more than two hard balls. Finally, we compute viscosity as well as thermal conductivity thanks to our own method also based on the Helfand moment.