Arithmetic and hyperbolic structures in string theory

This thesis consists of an introductory text followed by two separate parts which may be read independently of each other. In Part I we analyze certain hyperbolic structures arising when studying gravity in the vicinity of spacelike singularities (the BKL-limit). In this limit, spatial points decouple and the dynamics exhibits ultralocal behaviour which may be mapped to an auxiliary problem given in terms of a (possibly chaotic) hyperbolic billiard. In all supergravities arising as low-energy limits of string theory or M-theory, the billiard dynamics takes place within the fundamental Weyl chambers of certain hyperbolic Kac-Moody algebras, suggesting that these algebras generate hidden infinite-dimensional symmetries of gravity. We investigate the modification of the billiard dynamics when the original gravitational theory is formulated on a compact spatial manifold of arbitrary topology, revealing fascinating mathematical structures known as galleries. We further use the conjectured hyperbolic symmetry E10 to generate and classify certain cosmological (S-brane) solutions in eleven-dimensional supergravity. Finally, we show in detail that eleven-dimensional supergravity and massive type IIA supergravity are dynamically unified within the framework of a geodesic sigma model for a particle moving on the infinite-dimensional coset space E10/K(E10).

Part II of the thesis is devoted to a study of how (U-)dualities in string theory provide powerful constraints on perturbative and non-perturbative quantum corrections. These dualities are typically given by certain arithmetic groups G(Z) which are conjectured to be preserved in the effective action. The exact couplings are given by moduli-dependent functions which are manifestly invariant under G(Z), known as automorphic forms. We discuss in detail various methods of constructing automorphic forms, with particular emphasis on a special class of functions known as (non-holomorphic) Eisenstein series. We provide detailed examples for the physically relevant cases of SL(2,Z) and SL(3,Z), for which we construct their respective Eisenstein series and compute their (non-abelian) Fourier expansions. We also discuss the possibility that certain generalized Eisenstein series, which are covariant under the maximal compact subgroup K(G), could play a role in determining the exact effective action for toroidally compactified higher derivative corrections. Finally, we propose that in the case of rigid Calabi-Yau compactifications in type IIA string theory, the exact universal hypermultiplet moduli space exhibits a quantum duality group given by the emph{Picard modular group} SU(2,1;Z[i]). To verify this proposal we construct an SU(2,1;Z[i])-invariant Eisenstein series, and we present preliminary results for its Fourier expansion which reveals the expected contributions from D2-brane and NS5-brane instantons.

/

Résumé francais:

Cette thèse est composée d'une introduction suivie de deux parties qui peuvent être lues indépendemment. Dans la première partie, nous analysons des structures hyperboliques apparaissant dans l'étude de la gravité au voisinage d'une singularité de type espace (la limite BKL). Dans cette limite, les points spatiaux se découplent et la dynamique suit un comportement ultralocal qui peut être reformulé en termes d'un billiard hyperbolique (qui peut être chaotique). Dans toutes les supergravités qui sont des limites de basse énergie de théories de cordes ou de la théorie M, la dynamique du billiard prend place à l'intérieur des chambres de Weyl fondamentales de certaines algèbres de Kac-Moody hyperboliques, ce qui suggère que ces algèbres correspondent à des symétries cachées de dimension infinie de la gravité. Nous examinons comment la dynamique du billard est modifiée quand la théorie de gravité originale est formulée sur une variété spatiale compacte de topologie arbitraire, révélant ainsi de fascinantes structures mathématiques appelées galleries. De plus, dans le cadre de la supergravité à onze dimensions, nous utilisons la symétrie hyperbolique conjecturée E10 pour engendrer et classifier certaines solutions cosmologiques (S-branes). Finalement, nous montrons en détail que la supergravité à onze dimensions et la supergravité de type IIA massive sont dynamiquement unifiées dans le contexte d'un modèle sigma géodesique pour une particule se déplaçant sur l'espace quotient de dimension infinie E10/K(E10).

La deuxième partie de cette thèse est consacrée à étudier comment les dualités U en théorie des cordes fournissent des contraintes puissantes sur les corrections quantiques perturbatives et non perturbatives. Ces dualités sont typiquement données par des groupes arithmétiques G(Z) dont il est conjecturé qu'ils préservent l'action effective. Les couplages exacts sont donnés par des fonctions des moduli qui sont manifestement invariantes sous G(Z), et qu'on appelle des formes automorphiques. Nous discutons en détail différentes méthodes de construction de ces formes automorphiques, en insistant particulièrement sur une classe spéciale de fonctions appelées séries d'Eisenstein (non holomorphiques). Nous présentons comme exemples les cas de SL(2,Z) et SL(3,Z), qui sont physiquement pertinents. Nous construisons les séries d'Eisenstein correspondantes et leurs expansions de Fourier (non abéliennes). Nous discutons également la possibilité que certaines séries d'Eisenstein généralisées, qui sont covariantes sous le sous-groupe compact maximal, pourraient jouer un rôle dans la détermination des actions effectives exactes pour les théories incluant des corrections de dérivées supérieures compactifiées sur des tores.