Vlasov dynamics of 1D models with long-range interactions

La compréhension de l'évolution dynamique dans le cas de systèmes en interaction de longue portée représente encore actuellement un défi théorique. Des modèles simples présentent des propriétés telles que des transitions de phase hors d'équilibre ou des états quasi-stationnaires.

Le but de la présente thèse est d'étudier les propriétés dynamiques de systèmes en interaction de longue portée pour des modèles à une dimension. La description cinétique adéquate est donnée par l'équation de Vlasov. Une théorie statistique proposée par D. Lynden-Bell est appropriée pour prédire dans certaines situations l'aboutissement de la dynamique. Un outil de simulation pour l'équation de Vlasov complète cette approche.

Une étude détaillée de la transition de phase dans le Laser à Electrons Libres est présentée et la transition est analysée à l'aide de la théorie de Lynden-Bell.

Ensuite, la présence d'étirement et de repliement est étudiée dans le modèle Hamiltonian Mean-Field en analogie avec la dynamique des fluides.

Enfin, un système de pendules découplés dont les états asymptotiques sont similaires à ceux du modèle Hamiltonian Mean-Field est introduit. Son évolution asymptotique est prédite par la théorie de Lynden-Bell et par une approche exacte. Ce système présente une évolution initiale rapide similaire à la relaxation violente présente dans des modèles plus compliqués. De plus, une transition de phase hors d'équilibre est trouvée si une condition d'auto-consistence est imposée.

En résumé, la présente thèse comporte des résultats originaux liés à la présence d'états quasi-stationnaires et de transitions de phase hors d'équilibre dans des modèles unidimensionnels en interaction de longue portée.

Les résultats concernant le Laser à Electrons Libres offrent une perspective de réalisation expérimentale des phénomènes décrits dans cette thèse.

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Gravitational and electrostatic interactions are fundamental examples of systems with long-range interactions.

Equilibrium properties of simple models with long-range interactions are well understood and exhibit exotic behaviors: negative specific heat and inequivalence of statistical ensembles for instance.

The understanding of the dynamical evolution in the case of long-range interacting systems still represents a theoretical challenge. Phenomena such as out-of-equilibrium phase transitions or quasi-stationary states have been found even in simple models.

The purpose of the present thesis is to investigate the dynamical properties of systems with long-range interactions, specializing on one-dimensional models. The appropriate kinetic description for these systems is the Vlasov equation. A statistical theory devised by D. Lynden-Bell is adequate to predict in some situations the outcome of the dynamics.

A complementary numerical simulation tool for the Vlasov equation is developed.

A detailed study of the out-of-equilibrium phase transition occuring in the Free-Electron Laser is performed and the transition is analyzed with the help of Lynden-Bell's theory.

Then, the presence of stretching and folding in phase space for the Hamiltonian Mean-Field model is studied and quantified from the point of view of fluid dynamics.

Finally, a system of uncoupled pendula for which the asymptotic states are similar to the ones of the Hamiltonian Mean-Field model is introduced. Its asymptotic evolution is predicted via both Lynden-Bell's theory and an exact computation. This system displays a fast initial evolution similar to the violent relaxation found for interacting systems. Moreover, an out-of-equilibrium phase transition is found if one imposes a self-consistent condition on the system.

In summary, the present thesis discusses original results related to the occurence of quasi-stationary states and out-of-equilibrium phase transitions in 1D models with long-range interaction.

The findings regarding the Free-Electron Laser are of importance in the perspective of experimental realizations of the aforementioned phenomena.