Président du jury Fiorini, Samuel
Promoteur Buekenhout, Francis
;Leemans, Dimitri Publication Non publié, 2015-07-07
| Résumé : | La classification des groupes simples finies achevée en 2004 par Aschbacher et Smith au terme de décennies de travaux par des centaines de mathématiciens livre 18 familles infinies et 26 groupes appelés sporadiques. Ces derniers sont dotés de propriétés singulières. Dans ma thèse de doctorat, nous étudions le groupe sporadique de O'Nan -- usuellement dénoté O'N -- d'un point de vue géométrique, dans la lignée des travaux des Professeurs Buekenhout, Dehon et Leemans. Nous abordons essentiellement quatre facettes de la géométrie de O'N. Tout d'abord, nous produisons la classification complète des géométries Buekenhout--Cara--Dehon--Leemans (BCDL) de O'N, une tâche commencée par Leemans en 2010. Les géomé-tries BCDL sont caractérisées par des axiomes inspirés de la Théorie des Immeubles de Jacques Tits. La majorité des groupes simples finis sont caractérisés par un immeuble et un diagramme. Parmi les exceptions se trouvent les groupes sporadiques. Une géométrie BCDL est plus générale qu'un immeuble, mais s'en rapproche. Ensuite, nous étudions une géométrie pour le groupe d'automorphismes de O'N construite à partir de paires d'involutions commutantes. Les involutions jouent un rôle majeur dans la théorie des groupes simples finis. Ces travaux sont inspirés de la construction d'une tour de géométries pour les groupes de Fischer construite à partir de paires d'involutions commutantes due à Buekenhout. Nous poursuivons en étudiant les polytopes abstraits réguliers sur lesquels O'N agit. Nous produisons la classification des polytopes de rang maximum, à savoir 4. Enfin, nous étudions O'N sous le spectre des cartes régulières. Tout polyèdre abstrait régulier est une carte régulière, mais la réciproque n'est pas vraie. Nous donnons un algorithme permettant d'énumérer par type les cartes régulières pour un groupe fini donné. Ceci nous permet de borner le nombre de polyèdres abstraits réguliers sur lesquels O'N agit. Nous produisons également les treillis de sous-groupes de O'N et de son groupe d'automorphismes. |
