Président du jury Joret, Gwenaël
Promoteur Cardinal, Jean
;Fiorini, Samuel Publication Non publié, 2015-06-30
| Résumé : | Dans cette thèse, nous étudions les aspects structurels et algorithmiques de différents problèmes de théorie des graphes. Rappelons qu’un graphe est un ensemble de sommets éventuellement reliés par des arêtes. Deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête. Tout d’abord, nous considérons les deux problèmes suivants : le problème de vertex cover et celui de dominating set, deux cas particuliers du problème de hitting set. Un vertex cover est un ensemble de sommets qui rencontrent toutes les arêtes alors qu’un dominating set est un ensemble X de sommets tel que chaque sommet n’appartenant pas à X est adjacent à un sommet de X. La version connexe de ces problèmes demande que les sommets choisis forment un sous-graphe connexe. Pour les deux problèmes précédents, nous examinons le prix de la connexité, défini comme étant le rapport entre la taille minimum d’un ensemble répondant à la version connexe du problème et celle d’un ensemble du problème originel. Nous prouvons la difficulté du calcul du prix de la connexité d’un graphe. Cependant, lorsqu’on exige que le prix de la connexité d’un graphe ainsi que de tous ses sous-graphes induits soit borné par une constante fixée, la situation change complètement. En effet, pour les problèmes de vertex cover et de dominating set, nous avons pu caractériser ces classes de graphes pour de petites constantes. Ensuite, nous caractérisons en termes de dominating sets connexes les graphes Pk- free, graphes n’ayant pas de sous-graphes induits isomorphes à un chemin sur k sommets. Beaucoup de problèmes sur les graphes sont étudiés lorsqu’ils sont restreints à cette classe de graphes. De plus, nous appliquons cette caractérisation à la 2-coloration dans les hypergraphes. Pour certains hypergraphes, nous prouvons que ce problème peut être résolu en temps polynomial. Finalement, nous travaillons sur le problème de Pk-hitting set. Un Pk-hitting set est un ensemble de sommets qui rencontrent tous les chemins sur k sommets. Nous développons un algorithme d’approximation avec un facteur de performance de 3. Notre algorithme, basé sur la méthode primal-dual, fournit un Pk-hitting set dont la taille est au plus 3 fois la taille minimum d’un Pk-hitting set. |
