Automorphismes hamiltoniens d'un produit star et opérateurs de Dirac Symplectiques

de la physique mathématique. Les thèmes que nous développerons mettent en évidence certaines

connexions avec la topologie symplectique d'une part, la géométrie Riemannienne d'autre part.

Dans la partie 1, nous étudions la quantification par déformation formelle d'une variété

symplectique, à l'aide de produits star. Nous définissons le groupe des automorphimes

hamiltoniens d'un produit star formel. En nous inspirant d'idées de Banyaga, nous

identifions ce groupe comme étant le noyau d'un morphisme remarquable sur le groupe

des automorphismes du produit star. Nous relions certaines propriétés géométriques de

ce groupe d'automorphismes hamiltoniens à la topologie du groupe des difféomorphismes

hamiltoniens.

Dans la partie 2, nous étudions les opérateurs de Dirac symplectiques. Les ingrédients

nécessaires à leur construction (algèbre de Weyl, structures $Mp^c$, champs de spineurs

symplectiques, connexions symplectiques,...) sont également utilisés en quantification géométrique et en

quantification par déformation formelle. Les opérateurs de Dirac symplectiques sont construits

de manière analogue à l'opérateur de Dirac de la géométrie Riemannienne. Une formule de Weitzenbock

lie les opérateurs de Dirac symplectiques à un opérateur elliptique $mathcal{P}$ d'ordre 2. Nous étudions

les noyaux de ces opérateurs de Dirac symplectiques et leur lien avec le noyau de P.

Sur l'espace hermitien symétrique $CP^n$, nous calculerons le spectre de $mathcal{P}$ et nous

prouverons un théorème de Hodge pour les opérateurs de Dirac-Dolbeault symplectiques.

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In this thesis we study two topics of symplectic geometry inspired from mathematical physics.

Part 1 is devoted to the study of deformation quantization of symplectic manifolds. More precisely, we consider formal star products on a symplectic manifold. We define the group of Hamiltonian automorphisms of a formal star product. Following ideas of Banyaga, we describe this group as the kernel

of a morphism on the group of automorphisms of the star product. We relate geometric properties of the group of Hamiltonian automorphisms to the topology of the group of Hamiltonian diffeomorphisms.

Part 2 is devoted to the study of symplectic Dirac operators. The construction of those operators relies on many concepts used in geometric quantization and formal deformation quantization such as Weyl algebra, $Mp^c$ structures, symplectic spinors, symplectic connections,... The construction of symplectic Dirac operators is analogous to the one of Dirac operators in Riemannian geometry. A Weitzenbock formula relates the symplectic Dirac operators to an elliptic operator $mathcal{P}$ of order 2. We study the kernels of the symplectic Dirac operators and relate them to the kernel of $mathcal{P}$. On the hermitian symmetric space

$CP^n$, we compute the spectrum of $mathcal{P}$ and we prove a Hodge theorem for the symplectic Dirac-Dolbeault operator.