Président du jury Gorza, Simon-Pierre
Promoteur Danckaert, Jan;Erneux, Thomas
Publication Non publié, 2014-09-09
| Résumé : | Dans ce travail, nous étudions deux types de problèmes à retard. Le premier traite des oscillateurs optoélectroniques (OOEs). Un OOE est un système bouclé permettant de délivrer une onde électromagnétique radio-fréquence de grande pureté spectrale et de faible bruit électronique. Le second problème traite du couplage retardé de neurones. Une nouvelle forme de synchronisation est observée où un régime oscillant est une alternative à un état stationnaire stable. Ces deux problèmes présentent des oscillations de type slow-fast. Une grande partie de ma thèse est dévouée à l’analyse de ces régimes. Etant donné qu’il s’agit d’équations nonlinéaires à retard, les techniques asymptotiques classiques ont dû être revues. En plus d’une étude théorique, des expériences ont été effectuées. Le travail sur les OOEs a été rendu possible grâce aux invitations respectives de L. Larger dans son laboratoire à l’Université de Franche-Comté et de D.J. Gauthier à Duke University. Le travail sur le couplage de neurones a bénéficié d’expériences réalisées par L. Keuninckx du groupe « Applied Physics » de la Vrije Universiteit Brussel. Une contribution importante de cette thèse est à la fois l’analyse mathématique mais aussi l’observation expérimentale d’ondes carrées stables asymétriques présentant des longueurs de plateau différentes mais ayant la même période dans un OOE. Une bifurcation de Hopf primaire d’un état stationnaire est le mécanisme menant à ces régimes. Un deuxième phénomène qui a été à la fois observé pour l’OOE et pour les neurones couplés est la coexistence entre plusieurs ondes carrées ayant des périodes différentes. Pour l’OOE, ces oscillations peuvent être reliées à plusieurs bifurcations de Hopf primaires qui sont proches les unes des autres à cause du grand délai. Le mécanisme de stabilité est similaire à celui de "Eckhaus" pour les systèmes spatialement étendus. Pour le couplage de cellules excitables, nous avons étudié des équations couplées de type FitzHugh-Nagumo (FHN) linéaires par morceaux et obtenu des résultats analytiques. Nous montrons que le mécanisme menant à ces régimes périodiques correspond à un point limite d’un cycle-limite. La robustesse de ces régimes par rapport au bruit a ensuite été explorée expérimentalement en utilisant des circuits électroniques couplés et retardés. Ce système peut être modélisé mathématiquement par les mêmes équations de type FHN. Pour terminer, nous montrons que les équations pour l’OOE et le FHN possèdent des propriétés similaires. Ceci nous permet de généraliser nos principaux résultats à une plus grande variété d’équations différentielles à retard. |
