Contributions to nonparametric and semiparametric inference based on statistical depth

Celle-ci, originellement introduite afin de généraliser la notion de médiane et de fournir naturellement un ordre (depuis un centre, vers l'extérieur) dans un contexte multivarié, a, depuis son développement, démontré ses nombreuses qualités, tant en termes de robustesse, que d'utilité dans de nombreuses procédures inférentielles.

Les résultats proposés dans ce travail se développent le long de trois axes.

Pour commencer, la thèse s'intéresse à la classification supervisée. La profondeur a, en effet, déjà été utilisée avec succès dans ce contexte. Cependant, jusqu'ici, les outils développés restaient limités aux distributions elliptiques, constituant ainsi une sévère restriction des méthodes utilisant les fonctions de profondeur, qui, pour la plupart, sont par essence nonparamétrique. La première partie de cette thèse propose donc une nouvelle méthode de classification, fondée sur la profondeur, dont on montrera qu'elle est essentiellement universellement convergente. En particulier, la règle de discrimination proposée se fonde sur les idées utilisées dans la classification par plus proches voisins, en introduisant cependant des voisinages fondés sur la profondeur, mieux à même de cerner le comportement des populations sous-jacentes.

Ces voisinages d'un point quelconque, et surtout l'information sur le comportement local de la distribution en ce point qu'ils apportent, ont été réutilisés dans la seconde partie de ce travail. Plusieurs auteurs ont en effet reconnu certaines limitations aux fonctions de profondeur, de par leur caractère global et la difficulté d'étudier par leur biais des distributions multimodales ou à support convexe. Une nouvelle définition de profondeur locale est donc développée et étudiée. Son utilité dans différents problèmes d'inférence est également explorée.

Enfin, la thèse s'intéresse au paramètre de forme pour les distributions elliptiques. Ce paramètre d'importance est utilisé dans de nombreuses procédures statistiques (analyse en composantes principales, analyse en corrélations canoniques, entre autres) et aucune fonction de profondeur pour celui-ci n'existait à ce jour. La profondeur de forme est donc définie et ses propriétés sont étudiées. En particulier, on montrera que le cadre général de la profondeur paramétrique n'est pas suffisant en raison de la présence du paramètre de nuisance (d'influence non nulle) qu'est l'échelle. Une application inférentielle est présentée dans le cadre des tests d'hypothèses.